Логарифмические функции — задание №12 ЕГЭ по математике

Нужно найти точку минимума функции $$y=9x-\ln((x-2)^9)-8.$$ В этой формулировке «точка минимума» — это значение $x$, при переходе через которое функция сначала убывает, затем возрастает. Найдём его по знаку производной. Значение $y$ в окончательный ответ здесь подставлять не требуется. Шаг 1. Проверим область определения и упростим логарифм. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$(x-2)^9>0.$$ Степень 9 нечётная: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, положительное — положительным, ноль даёт ноль. Поэтому условие равносильно $x-2>0$. Прибавляем 2 к обеим частям: $$x>2.$$ На этой области $x-2>0$, поэтому можно применить свойство $\ln(u^n)=n\ln u$: $$\ln((x-2)^9)=9\ln(x-2).$$ Исходная функция принимает вид $$y=9x-9\ln(x-2)-8.$$ Шаг 2. Найдём производную. Производная $9x$ равна 9. Для логарифма используем $(\ln u)'=u'/u$: здесь $u=x-2$, $u'=1$, поэтому $$(\ln(x-2))'=\frac1{x-2}.$$ Множитель $-9$ сохраняем, а производная постоянного числа $-8$ равна 0: $$y'=9-\frac9{x-2}.$$ Приводим к общему знаменателю $x-2$: $$9=\frac{9(x-2)}{x-2},$$ $$y'=\frac{9(x-2)-9}{x-2}.$$ Раскрываем скобки: $9(x-2)=9x-18$. Тогда $$y'=\frac{9x-18-9}{x-2}=\frac{9x-27}{x-2}.$$ Шаг 3. Найдём, где производная равна нулю. В области $x>2$ знаменатель ненулевой, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю: $$9x-27=0.$$ Прибавляем 27 к обеим частям, затем делим на 9: $$9x=27,\qquad x=\frac{27}9=3.$$ Число 3 удовлетворяет ограничению $x>2$. Шаг 4. Проверим изменение знака производной. Знаменатель $x-2$ положителен на всей области определения. Значит, знак производной определяется числителем. При $2<x<3$ имеем $9x<27$, следовательно, $9x-27<0$ и $y'<0$: функция убывает. При $x>3$ имеем $9x>27$, следовательно, $9x-27>0$ и $y'>0$: функция возрастает. Итак, слева от 3 значения уменьшаются, справа от 3 увеличиваются. Поэтому $x=3$ — точка минимума. Проверка нуля производной: $$y'(3)=9-\frac9{3-2}=9-\frac91=9-9=0.$$ Ответ: $3$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 2>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>2$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $11$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(11)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 10 x)^{\prime}=(-10)\cdot(1)\cdot x^{0}=-10$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 2,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(10 \ln{\left(x - 2 \right)})^{\prime}=(10)\cdot\frac{1}{x - 2}=\frac{10}{x - 2}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-10 + \frac{10}{x - 2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-10 + \frac{10}{x - 2}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(20 - 10 x) + (10)}{x - 2}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{30 - 10 x}{x - 2}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$30 - 10 x=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 10 x=-30$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-30}{-10}=3$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(2;3)$ возьмём $x=\frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{5}{2})=-10 + \frac{10}{\left(\frac{5}{2}\right) - 2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + \frac{5}{2}=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \cdot 2=20$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 20=10$$ $$y^{\prime}(\frac{5}{2})=10>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=-10 + \frac{10}{\left(4\right) - 2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + 4=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \cdot \frac{1}{2}=5$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 5=-5$$ $$y^{\prime}(4)=-5<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=3$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=3$$ Ответ: $3$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $74$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(74)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{2})^{\prime}=(1)\cdot(2)\cdot x^{1}=2 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 33 x)^{\prime}=(-33)\cdot(1)\cdot x^{0}=-33$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(136 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(136)\cdot\frac{1}{x}=\frac{136}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=2 x - 33 + \frac{136}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$2 x - 33 + \frac{136}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 33 x) + (2 x^{2}) + (136)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{2 x^{2} - 33 x + 136}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$2 x^{2} - 33 x + 136=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-33,\qquad C=136$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-33)^2=1089$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(136)=1088$$ $$D=B^2-4AC=1089-(1088)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-33)+1}{2\cdot(2)}=\frac{34}{4}=\frac{17}{2}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-33)-1}{2\cdot(2)}=\frac{32}{4}=8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;8)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=2 \left(4\right) - 33 + \frac{136}{\left(4\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 4=8$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$136 \cdot \frac{1}{4}=34$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-33 + 8 + 34=9$$ $$y^{\prime}(4)=9>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(8;\frac{17}{2})$ возьмём $x=\frac{33}{4}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{33}{4})=2 \left(\frac{33}{4}\right) - 33 + \frac{136}{\left(\frac{33}{4}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot \frac{33}{4}=\frac{33}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{33}{4}}=\frac{4}{33}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$136 \cdot \frac{4}{33}=\frac{544}{33}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-33 + \frac{544}{33} + \frac{33}{2}=- \frac{1}{66}$$ $$y^{\prime}(\frac{33}{4})=- \frac{1}{66}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(\frac{17}{2};\infty)$ возьмём $x=\frac{19}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{19}{2})=2 \left(\frac{19}{2}\right) - 33 + \frac{136}{\left(\frac{19}{2}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot \frac{19}{2}=19$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{19}{2}}=\frac{2}{19}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$136 \cdot \frac{2}{19}=\frac{272}{19}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-33 + \frac{272}{19} + 19=\frac{6}{19}$$ $$y^{\prime}(\frac{19}{2})=\frac{6}{19}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=8$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=8$$ Ответ: $8$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 3>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-3$$ В условии логарифм записан от нечётной степени выражения. Нечётная степень положительна тогда и только тогда, когда положительно само выражение. На этой области применяем свойство $\ln(u^n)=n\ln u$. Получаем удобную запись той же функции: $$y=- 7 x + 7 \ln{\left(x + 3 \right)} - 9$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-9$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-9)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 7 x)^{\prime}=(-7)\cdot(1)\cdot x^{0}=-7$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 3,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(7 \ln{\left(x + 3 \right)})^{\prime}=(7)\cdot\frac{1}{x + 3}=\frac{7}{x + 3}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-7 + \frac{7}{x + 3}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-7 + \frac{7}{x + 3}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 7 x - 21) + (7)}{x + 3}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{- 7 x - 14}{x + 3}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$- 7 x - 14=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 7 x=14$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{14}{-7}=-2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-3;-2)$ возьмём $x=- \frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=-7 + \frac{7}{\left(- \frac{5}{2}\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{5}{2} + 3=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot 2=14$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + 14=7$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=7>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-2;\infty)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=-7 + \frac{7}{\left(-1\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1 + 3=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot \frac{1}{2}=\frac{7}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + \frac{7}{2}=- \frac{7}{2}$$ $$y^{\prime}(-1)=- \frac{7}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-2$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-2$$ Ответ: $-2$.

Нужно найти самое большое значение функции $$y=\ln(8x)-8x+7$$ при $1/16\le x\le5/16$. Здесь $x$ — число, которое мы подставляем, а $y$ — полученный результат. Например, если мы найдём подходящее $x=1/8$, работу надо продолжить: вычислить $y$ при этом $x$. В ответе спрашивается именно результат $y$. Шаг 1. Объясним способ поиска. Наибольшее значение на отрезке может находиться внутри него или на одном из концов. Мы выясним, где функция растёт и где убывает. Если она сначала растёт, а потом убывает, самое большое значение будет в месте перехода между этими участками. Концы отрезка также будут учтены: нужно проверить, что до них значение больше не становится. Направление изменения определяем по производной: при $y'>0$ функция возрастает, при $y'<0$ — убывает. Шаг 2. Проверим область определения и найдём производную. Аргумент логарифма должен быть положительным: $$8x>0.$$ Делим обе части на положительное число 8, знак сохраняется: $$x>0.$$ Все числа заданного отрезка положительны. Поэтому формула определена и непрерывна на всём отрезке. Для логарифма применяем правило $(\ln u)'=u'/u$. Здесь $u=8x$, поэтому $u'=8$: $$(\ln(8x))'=\frac8{8x}=\frac1x.$$ Производная $-8x$ равна $-8$, производная постоянного числа 7 равна 0. Складываем: $$y'=\frac1x-8.$$ Приведём к общему знаменателю $x$: число 8 запишем как $8x/x$: $$y'=\frac1x-\frac{8x}x=\frac{1-8x}{x}.$$ Шаг 3. Найдём точку, где производная равна нулю. При $x>0$ знаменатель ненулевой. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $$1-8x=0.$$ Вычитаем 1 из обеих частей: $$-8x=-1.$$ Делим обе части на $-8$: $$x=\frac{-1}{-8}=\frac18.$$ Точка находится внутри заданного отрезка. Чтобы сравнить дроби, приведём их к знаменателю 16: $$\frac18=\frac2{16},\qquad\frac1{16}<\frac2{16}<\frac5{16}.$$ Шаг 4. Докажем, что здесь достигается наибольшее значение. Знаменатель производной $x$ положителен на всём отрезке. Поэтому её знак совпадает со знаком числителя $1-8x$. Слева от $1/8$ имеем $x<1/8$. Умножаем на 8: $8x<1$. Вычитаем $8x$ из обеих частей: $1-8x>0$. Значит, $y'>0$, и на участке от $1/16$ до $1/8$ функция растёт. Справа от $1/8$ имеем $x>1/8$. Тогда $8x>1$, а $1-8x<0$. Значит, $y'<0$, и на участке от $1/8$ до $5/16$ функция убывает. Итак, от левого конца к $1/8$ значения увеличиваются, а от $1/8$ к правому концу уменьшаются. Поэтому ни на левом, ни на правом конце значение не больше, чем при $x=1/8$. Это доказывает выбор для всего отрезка, включая его границы. Шаг 5. Подставим найденное $x$ в исходную функцию. $$y\left(\frac18\right)=\ln\left(8\cdot\frac18\right)-8\cdot\frac18+7.$$ Выполняем умножение: $$8\cdot\frac18=\frac88=1.$$ Поэтому $$y\left(\frac18\right)=\ln1-1+7.$$ Натуральный логарифм 1 равен 0: $e^0=1$, следовательно, $\ln1=0$. Осталось сложить числа: $$0-1+7=-1+7=6.$$ Ответ: $6$. Это наибольшее значение $y$; оно достигается при $x=1/8$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-97$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-97)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{2})^{\prime}=(1)\cdot(2)\cdot x^{1}=2 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 20 x)^{\prime}=(-20)\cdot(1)\cdot x^{0}=-20$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(48 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(48)\cdot\frac{1}{x}=\frac{48}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=2 x - 20 + \frac{48}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$2 x - 20 + \frac{48}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 20 x) + (2 x^{2}) + (48)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{2 x^{2} - 20 x + 48}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$2 x^{2} - 20 x + 48=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-20,\qquad C=48$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-20)^2=400$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(48)=384$$ $$D=B^2-4AC=400-(384)=16$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{16}=4$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-20)+4}{2\cdot(2)}=\frac{24}{4}=6$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-20)-4}{2\cdot(2)}=\frac{16}{4}=4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;4)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=2 \left(2\right) - 20 + \frac{48}{\left(2\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 2=4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$48 \cdot \frac{1}{2}=24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + 4 + 24=8$$ $$y^{\prime}(2)=8>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(4;6)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=2 \left(5\right) - 20 + \frac{48}{\left(5\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 5=10$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$48 \cdot \frac{1}{5}=\frac{48}{5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + \frac{48}{5} + 10=- \frac{2}{5}$$ $$y^{\prime}(5)=- \frac{2}{5}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(6;\infty)$ возьмём $x=7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(7)=2 \left(7\right) - 20 + \frac{48}{\left(7\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 7=14$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$48 \cdot \frac{1}{7}=\frac{48}{7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + \frac{48}{7} + 14=\frac{6}{7}$$ $$y^{\prime}(7)=\frac{6}{7}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=6$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=6$$ Ответ: $6$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $31$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(31)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{2})^{\prime}=(1)\cdot(2)\cdot x^{1}=2 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 28 x)^{\prime}=(-28)\cdot(1)\cdot x^{0}=-28$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(96 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(96)\cdot\frac{1}{x}=\frac{96}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=2 x - 28 + \frac{96}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$2 x - 28 + \frac{96}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 28 x) + (2 x^{2}) + (96)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{2 x^{2} - 28 x + 96}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$2 x^{2} - 28 x + 96=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-28,\qquad C=96$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-28)^2=784$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(96)=768$$ $$D=B^2-4AC=784-(768)=16$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{16}=4$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-28)+4}{2\cdot(2)}=\frac{32}{4}=8$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-28)-4}{2\cdot(2)}=\frac{24}{4}=6$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;6)$ возьмём $x=3$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(3)=2 \left(3\right) - 28 + \frac{96}{\left(3\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 3=6$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$96 \cdot \frac{1}{3}=32$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-28 + 6 + 32=10$$ $$y^{\prime}(3)=10>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(6;8)$ возьмём $x=7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(7)=2 \left(7\right) - 28 + \frac{96}{\left(7\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 7=14$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$96 \cdot \frac{1}{7}=\frac{96}{7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-28 + \frac{96}{7} + 14=- \frac{2}{7}$$ $$y^{\prime}(7)=- \frac{2}{7}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(8;\infty)$ возьмём $x=9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(9)=2 \left(9\right) - 28 + \frac{96}{\left(9\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 9=18$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$96 \cdot \frac{1}{9}=\frac{32}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-28 + \frac{32}{3} + 18=\frac{2}{3}$$ $$y^{\prime}(9)=\frac{2}{3}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=8$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=8$$ Ответ: $8$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $67$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(67)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 29 x)^{\prime}=(-29)\cdot(1)\cdot x^{0}=-29$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(30 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(30)\cdot\frac{1}{x}=\frac{30}{x}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(\frac{7 x^{2}}{2})^{\prime}=(\frac{7}{2})\cdot(2)\cdot x^{1}=7 x$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=7 x - 29 + \frac{30}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$7 x - 29 + \frac{30}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 29 x) + (7 x^{2}) + (30)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{7 x^{2} - 29 x + 30}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$7 x^{2} - 29 x + 30=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=7,\qquad B=-29,\qquad C=30$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-29)^2=841$$ $$4AC=4\cdot(7)\cdot(30)=840$$ $$D=B^2-4AC=841-(840)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-29)+1}{2\cdot(7)}=\frac{30}{14}=\frac{15}{7}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-29)-1}{2\cdot(7)}=\frac{28}{14}=2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;2)$ возьмём $x=1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(1)=7 \left(1\right) - 29 + \frac{30}{\left(1\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot 1=7$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$1^{-1}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$30 \cdot 1=30$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-29 + 7 + 30=8$$ $$y^{\prime}(1)=8>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(2;\frac{15}{7})$ возьмём $x=\frac{29}{14}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{29}{14})=7 \left(\frac{29}{14}\right) - 29 + \frac{30}{\left(\frac{29}{14}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot \frac{29}{14}=\frac{29}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{29}{14}}=\frac{14}{29}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$30 \cdot \frac{14}{29}=\frac{420}{29}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-29 + \frac{420}{29} + \frac{29}{2}=- \frac{1}{58}$$ $$y^{\prime}(\frac{29}{14})=- \frac{1}{58}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(\frac{15}{7};\infty)$ возьмём $x=\frac{22}{7}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{22}{7})=7 \left(\frac{22}{7}\right) - 29 + \frac{30}{\left(\frac{22}{7}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot \frac{22}{7}=22$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{22}{7}}=\frac{7}{22}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$30 \cdot \frac{7}{22}=\frac{105}{11}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-29 + \frac{105}{11} + 22=\frac{28}{11}$$ $$y^{\prime}(\frac{22}{7})=\frac{28}{11}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=2$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=2$$ Ответ: $2$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $43$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(43)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(\frac{x^{2}}{2})^{\prime}=(\frac{1}{2})\cdot(2)\cdot x^{1}=x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 21 x)^{\prime}=(-21)\cdot(1)\cdot x^{0}=-21$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(110 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(110)\cdot\frac{1}{x}=\frac{110}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=x - 21 + \frac{110}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$x - 21 + \frac{110}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 21 x) + (x^{2}) + (110)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{x^{2} - 21 x + 110}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$x^{2} - 21 x + 110=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-21,\qquad C=110$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-21)^2=441$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(110)=440$$ $$D=B^2-4AC=441-(440)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-21)+1}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-21)-1}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;10)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=\left(5\right) - 21 + \frac{110}{\left(5\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$110 \cdot \frac{1}{5}=22$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-21 + 5 + 22=6$$ $$y^{\prime}(5)=6>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(10;11)$ возьмём $x=\frac{21}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{21}{2})=\left(\frac{21}{2}\right) - 21 + \frac{110}{\left(\frac{21}{2}\right)}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{21}{2}}=\frac{2}{21}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$110 \cdot \frac{2}{21}=\frac{220}{21}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-21 + \frac{220}{21} + \frac{21}{2}=- \frac{1}{42}$$ $$y^{\prime}(\frac{21}{2})=- \frac{1}{42}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(11;\infty)$ возьмём $x=12$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(12)=\left(12\right) - 21 + \frac{110}{\left(12\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$110 \cdot \frac{1}{12}=\frac{55}{6}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-21 + \frac{55}{6} + 12=\frac{1}{6}$$ $$y^{\prime}(12)=\frac{1}{6}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=10$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=10$$ Ответ: $10$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 23 x)^{\prime}=(-23)\cdot(1)\cdot x^{0}=-23$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(2 x^{2})^{\prime}=(2)\cdot(2)\cdot x^{1}=4 x$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(33 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(33)\cdot\frac{1}{x}=\frac{33}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=4 x - 23 + \frac{33}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$4 x - 23 + \frac{33}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 23 x) + (4 x^{2}) + (33)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{4 x^{2} - 23 x + 33}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$4 x^{2} - 23 x + 33=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=4,\qquad B=-23,\qquad C=33$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-23)^2=529$$ $$4AC=4\cdot(4)\cdot(33)=528$$ $$D=B^2-4AC=529-(528)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-23)+1}{2\cdot(4)}=\frac{24}{8}=3$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-23)-1}{2\cdot(4)}=\frac{22}{8}=\frac{11}{4}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;\frac{11}{4})$ возьмём $x=\frac{11}{8}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{11}{8})=4 \left(\frac{11}{8}\right) - 23 + \frac{33}{\left(\frac{11}{8}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$4 \cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{11}{8}}=\frac{8}{11}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$33 \cdot \frac{8}{11}=24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-23 + \frac{11}{2} + 24=\frac{13}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{11}{8})=\frac{13}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(\frac{11}{4};3)$ возьмём $x=\frac{23}{8}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{23}{8})=4 \left(\frac{23}{8}\right) - 23 + \frac{33}{\left(\frac{23}{8}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$4 \cdot \frac{23}{8}=\frac{23}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{23}{8}}=\frac{8}{23}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$33 \cdot \frac{8}{23}=\frac{264}{23}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-23 + \frac{264}{23} + \frac{23}{2}=- \frac{1}{46}$$ $$y^{\prime}(\frac{23}{8})=- \frac{1}{46}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=4 \left(4\right) - 23 + \frac{33}{\left(4\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$4 \cdot 4=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$33 \cdot \frac{1}{4}=\frac{33}{4}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-23 + \frac{33}{4} + 16=\frac{5}{4}$$ $$y^{\prime}(4)=\frac{5}{4}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=3$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=3$$ Ответ: $3$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 3>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-3$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(4)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 3,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 9 \ln{\left(x + 3 \right)})^{\prime}=(-9)\cdot\frac{1}{x + 3}=- \frac{9}{x + 3}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(9 x)^{\prime}=(9)\cdot(1)\cdot x^{0}=9$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=9 - \frac{9}{x + 3}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$9 - \frac{9}{x + 3}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(9 x + 27) + (-9)}{x + 3}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{9 x + 18}{x + 3}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$9 x + 18=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$9 x=-18$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-18}{9}=-2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-3;-2)$ возьмём $x=- \frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=9 - \frac{9}{\left(- \frac{5}{2}\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{5}{2} + 3=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 2=-18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-18 + 9=-9$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=-9<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-2;\infty)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=9 - \frac{9}{\left(-1\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1 + 3=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \frac{1}{2}=- \frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 9=\frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(-1)=\frac{9}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-2$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-2$$ Ответ: $-2$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 7>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>7$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-8$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-8)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 7,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 3 \ln{\left(x - 7 \right)})^{\prime}=(-3)\cdot\frac{1}{x - 7}=- \frac{3}{x - 7}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(3 x)^{\prime}=(3)\cdot(1)\cdot x^{0}=3$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 - \frac{3}{x - 7}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 - \frac{3}{x - 7}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(3 x - 21) + (-3)}{x - 7}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{3 x - 24}{x - 7}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$3 x - 24=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$3 x=24$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{24}{3}=8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(7;8)$ возьмём $x=\frac{15}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{15}{2})=3 - \frac{3}{\left(\frac{15}{2}\right) - 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + \frac{15}{2}=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-3\right) 2=-6$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-6 + 3=-3$$ $$y^{\prime}(\frac{15}{2})=-3<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(8;\infty)$ возьмём $x=9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(9)=3 - \frac{3}{\left(9\right) - 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + 9=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-3\right) \frac{1}{2}=- \frac{3}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{3}{2} + 3=\frac{3}{2}$$ $$y^{\prime}(9)=\frac{3}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=8$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=8$$ Ответ: $8$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое большое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{13}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 7>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-7$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(4)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 9 x)^{\prime}=(-9)\cdot(1)\cdot x^{0}=-9$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 7,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(9 \ln{\left(x + 7 \right)})^{\prime}=(9)\cdot\frac{1}{x + 7}=\frac{9}{x + 7}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-9 + \frac{9}{x + 7}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-9 + \frac{9}{x + 7}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 9 x - 63) + (9)}{x + 7}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{- 9 x - 54}{x + 7}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$- 9 x - 54=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 9 x=54$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{54}{-9}=-6$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-7;-6)$ возьмём $x=- \frac{13}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{13}{2})=-9 + \frac{9}{\left(- \frac{13}{2}\right) + 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{13}{2} + 7=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 2=18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + 18=9$$ $$y^{\prime}(- \frac{13}{2})=9>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-6;\infty)$ возьмём $x=-5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-5)=-9 + \frac{9}{\left(-5\right) + 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-5 + 7=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + \frac{9}{2}=- \frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(-5)=- \frac{9}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{- \frac{13}{2};0;-6\}$$ Подставляем $x=- \frac{13}{2}$ в исходную формулу: $$y(- \frac{13}{2})=- 9 \left(- \frac{13}{2}\right) + 9 \ln{\left(\left(- \frac{13}{2}\right) + 7 \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \left(- \frac{13}{2}\right)=\frac{117}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{13}{2} + 7=\frac{1}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4 + \frac{117}{2}=9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{125}{2}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(- \frac{13}{2})=9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{125}{2}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $56{,}261675$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=0$ в исходную формулу: $$y(0)=- 9 \left(0\right) + 9 \ln{\left(\left(0\right) + 7 \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 7=7$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 4 + 9 \ln{\left(7 \right)}=4 + 9 \ln{\left(7 \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(0)=4 + 9 \ln{\left(7 \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $21{,}513191$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=-6$ в исходную формулу: $$y(-6)=- 9 \left(-6\right) + 9 \ln{\left(\left(-6\right) + 7 \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \left(-6\right)=54$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-6 + 7=1$$ Натуральный логарифм единицы равен нулю: степень числа e, дающая 1, равна 0. $$\ln{\left(1 \right)}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 4 + 54=58$$ После выполненных действий остаётся: $$y(-6)=58$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=-6$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(-6)=58$$ Ответ: $58$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{21}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 11>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-11$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $7$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(7)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 11,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 9 \ln{\left(x + 11 \right)})^{\prime}=(-9)\cdot\frac{1}{x + 11}=- \frac{9}{x + 11}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(9 x)^{\prime}=(9)\cdot(1)\cdot x^{0}=9$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=9 - \frac{9}{x + 11}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$9 - \frac{9}{x + 11}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(9 x + 99) + (-9)}{x + 11}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{9 x + 90}{x + 11}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$9 x + 90=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$9 x=-90$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-90}{9}=-10$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-11;-10)$ возьмём $x=- \frac{21}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{21}{2})=9 - \frac{9}{\left(- \frac{21}{2}\right) + 11}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{21}{2} + 11=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 2=-18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-18 + 9=-9$$ $$y^{\prime}(- \frac{21}{2})=-9<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-10;\infty)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-9)=9 - \frac{9}{\left(-9\right) + 11}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + 11=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \frac{1}{2}=- \frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 9=\frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(-9)=\frac{9}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{- \frac{21}{2};0;-10\}$$ Подставляем $x=- \frac{21}{2}$ в исходную формулу: $$y(- \frac{21}{2})=9 \left(- \frac{21}{2}\right) - 9 \ln{\left(\left(- \frac{21}{2}\right) + 11 \right)} + 7$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{21}{2} + 11=\frac{1}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \left(- \frac{21}{2}\right)=- \frac{189}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{189}{2} - 9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + 7=- \frac{175}{2} - 9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(- \frac{21}{2})=- \frac{175}{2} - 9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $-81{,}261675$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=0$ в исходную формулу: $$y(0)=9 \left(0\right) - 9 \ln{\left(\left(0\right) + 11 \right)} + 7$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 11=11$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 9 \ln{\left(11 \right)} + 0 + 7=7 - 9 \ln{\left(11 \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(0)=7 - 9 \ln{\left(11 \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $-14{,}581057$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=-10$ в исходную формулу: $$y(-10)=9 \left(-10\right) - 9 \ln{\left(\left(-10\right) + 11 \right)} + 7$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 11=1$$ Натуральный логарифм единицы равен нулю: степень числа e, дающая 1, равна 0. $$\ln{\left(1 \right)}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 0=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \left(-10\right)=-90$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-90 + 0 + 7=-83$$ После выполненных действий остаётся: $$y(-10)=-83$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=-10$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(-10)=-83$$ Ответ: $-83$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 4>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>4$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-7$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-7)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 9 x)^{\prime}=(-9)\cdot(1)\cdot x^{0}=-9$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 4,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(9 \ln{\left(x - 4 \right)})^{\prime}=(9)\cdot\frac{1}{x - 4}=\frac{9}{x - 4}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-9 + \frac{9}{x - 4}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-9 + \frac{9}{x - 4}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(36 - 9 x) + (9)}{x - 4}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{45 - 9 x}{x - 4}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$45 - 9 x=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 9 x=-45$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-45}{-9}=5$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(4;5)$ возьмём $x=\frac{9}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{9}{2})=-9 + \frac{9}{\left(\frac{9}{2}\right) - 4}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-4 + \frac{9}{2}=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 2=18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + 18=9$$ $$y^{\prime}(\frac{9}{2})=9>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(5;\infty)$ возьмём $x=6$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(6)=-9 + \frac{9}{\left(6\right) - 4}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-4 + 6=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + \frac{9}{2}=- \frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(6)=- \frac{9}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=5$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=5$$ Ответ: $5$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 3>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-3$$ В условии логарифм записан от нечётной степени выражения. Нечётная степень положительна тогда и только тогда, когда положительно само выражение. На этой области применяем свойство $\ln(u^n)=n\ln u$. Получаем удобную запись той же функции: $$y=5 x - 5 \ln{\left(x + 3 \right)} + 6$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $6$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(6)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 3,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 5 \ln{\left(x + 3 \right)})^{\prime}=(-5)\cdot\frac{1}{x + 3}=- \frac{5}{x + 3}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(5 x)^{\prime}=(5)\cdot(1)\cdot x^{0}=5$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=5 - \frac{5}{x + 3}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$5 - \frac{5}{x + 3}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(5 x + 15) + (-5)}{x + 3}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{5 x + 10}{x + 3}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$5 x + 10=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$5 x=-10$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-10}{5}=-2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-3;-2)$ возьмём $x=- \frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=5 - \frac{5}{\left(- \frac{5}{2}\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{5}{2} + 3=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) 2=-10$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 5=-5$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=-5<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-2;\infty)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=5 - \frac{5}{\left(-1\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1 + 3=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) \frac{1}{2}=- \frac{5}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{5}{2} + 5=\frac{5}{2}$$ $$y^{\prime}(-1)=\frac{5}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-2$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-2$$ Ответ: $-2$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$\frac{1}{24}\le x\le \frac{5}{24}$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$12 x>0$$ Делим обе части на положительный коэффициент $12$. Знак неравенства сохраняется: $$x>0$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(4)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=12 x,\qquad u^{\prime}=12$$ $$(- \ln{\left(12 x \right)})^{\prime}=(-1)\cdot\frac{12}{12 x}=- \frac{1}{x}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(12 x)^{\prime}=(12)\cdot(1)\cdot x^{0}=12$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=12 - \frac{1}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$12 - \frac{1}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(12 x) + (-1)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{12 x - 1}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$12 x - 1=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$12 x=1$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{1}{12}=\frac{1}{12}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;\frac{1}{12})$ возьмём $x=\frac{1}{24}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{1}{24})=12 - \frac{1}{\left(\frac{1}{24}\right)}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{24}}=24$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 24=-24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-24 + 12=-12$$ $$y^{\prime}(\frac{1}{24})=-12<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(\frac{1}{12};\infty)$ возьмём $x=\frac{13}{12}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{13}{12})=12 - \frac{1}{\left(\frac{13}{12}\right)}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{13}{12}}=\frac{12}{13}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) \frac{12}{13}=- \frac{12}{13}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{12}{13} + 12=\frac{144}{13}$$ $$y^{\prime}(\frac{13}{12})=\frac{144}{13}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{\frac{1}{24};\frac{5}{24};\frac{1}{12}\}$$ Подставляем $x=\frac{1}{24}$ в исходную формулу: $$y(\frac{1}{24})=12 \left(\frac{1}{24}\right) - \ln{\left(12 \left(\frac{1}{24}\right) \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot \frac{1}{24}=\frac{1}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$\frac{1}{2} - \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4=\frac{9}{2} - \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(\frac{1}{24})=\frac{9}{2} - \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $5{,}193147$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=\frac{5}{24}$ в исходную формулу: $$y(\frac{5}{24})=12 \left(\frac{5}{24}\right) - \ln{\left(12 \left(\frac{5}{24}\right) \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot \frac{5}{24}=\frac{5}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \ln{\left(\frac{5}{2} \right)} + \frac{5}{2} + 4=\frac{13}{2} - \ln{\left(\frac{5}{2} \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(\frac{5}{24})=\frac{13}{2} - \ln{\left(\frac{5}{2} \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $5{,}583709$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=\frac{1}{12}$ в исходную формулу: $$y(\frac{1}{12})=12 \left(\frac{1}{12}\right) - \ln{\left(12 \left(\frac{1}{12}\right) \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot \frac{1}{12}=1$$ Натуральный логарифм единицы равен нулю: степень числа e, дающая 1, равна 0. $$\ln{\left(1 \right)}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 1 + 4=5$$ После выполненных действий остаётся: $$y(\frac{1}{12})=5$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=\frac{1}{12}$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(\frac{1}{12})=5$$ Ответ: $5$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 2>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>2$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $13$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(13)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 5 x)^{\prime}=(-5)\cdot(1)\cdot x^{0}=-5$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 2,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(\ln{\left(x - 2 \right)})^{\prime}=(1)\cdot\frac{1}{x - 2}=\frac{1}{x - 2}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-5 + \frac{1}{x - 2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-5 + \frac{1}{x - 2}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(10 - 5 x) + (1)}{x - 2}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{11 - 5 x}{x - 2}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$11 - 5 x=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 5 x=-11$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-11}{-5}=\frac{11}{5}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(2;\frac{11}{5})$ возьмём $x=\frac{21}{10}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{21}{10})=-5 + \frac{1}{\left(\frac{21}{10}\right) - 2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + \frac{21}{10}=\frac{1}{10}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{10}}=10$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-5 + 10=5$$ $$y^{\prime}(\frac{21}{10})=5>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(\frac{11}{5};\infty)$ возьмём $x=\frac{16}{5}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{16}{5})=-5 + \frac{1}{\left(\frac{16}{5}\right) - 2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + \frac{16}{5}=\frac{6}{5}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{6}{5}}=\frac{5}{6}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-5 + \frac{5}{6}=- \frac{25}{6}$$ $$y^{\prime}(\frac{16}{5})=- \frac{25}{6}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=\frac{11}{5}$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=\frac{11}{5}$$ Ответ: $\frac{11}{5}$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 7>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>7$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-3$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-3)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 2 x)^{\prime}=(-2)\cdot(1)\cdot x^{0}=-2$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 7,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(\ln{\left(x - 7 \right)})^{\prime}=(1)\cdot\frac{1}{x - 7}=\frac{1}{x - 7}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-2 + \frac{1}{x - 7}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-2 + \frac{1}{x - 7}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(14 - 2 x) + (1)}{x - 7}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{15 - 2 x}{x - 7}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$15 - 2 x=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 2 x=-15$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-15}{-2}=\frac{15}{2}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(7;\frac{15}{2})$ возьмём $x=\frac{29}{4}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{29}{4})=-2 + \frac{1}{\left(\frac{29}{4}\right) - 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + \frac{29}{4}=\frac{1}{4}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + 4=2$$ $$y^{\prime}(\frac{29}{4})=2>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(\frac{15}{2};\infty)$ возьмём $x=\frac{17}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{17}{2})=-2 + \frac{1}{\left(\frac{17}{2}\right) - 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + \frac{17}{2}=\frac{3}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + \frac{2}{3}=- \frac{4}{3}$$ $$y^{\prime}(\frac{17}{2})=- \frac{4}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=\frac{15}{2}$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=\frac{15}{2}$$ Ответ: $\frac{15}{2}$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{9}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 5>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-5$$ В условии логарифм записан от нечётной степени выражения. Нечётная степень положительна тогда и только тогда, когда положительно само выражение. На этой области применяем свойство $\ln(u^n)=n\ln u$. Получаем удобную запись той же функции: $$y=9 x - 9 \ln{\left(x + 5 \right)}$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 5,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 9 \ln{\left(x + 5 \right)})^{\prime}=(-9)\cdot\frac{1}{x + 5}=- \frac{9}{x + 5}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(9 x)^{\prime}=(9)\cdot(1)\cdot x^{0}=9$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=9 - \frac{9}{x + 5}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$9 - \frac{9}{x + 5}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(9 x + 45) + (-9)}{x + 5}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{9 x + 36}{x + 5}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$9 x + 36=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$9 x=-36$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-36}{9}=-4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-5;-4)$ возьмём $x=- \frac{9}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{9}{2})=9 - \frac{9}{\left(- \frac{9}{2}\right) + 5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 5=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 2=-18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-18 + 9=-9$$ $$y^{\prime}(- \frac{9}{2})=-9<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-4;\infty)$ возьмём $x=-3$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-3)=9 - \frac{9}{\left(-3\right) + 5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-3 + 5=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \frac{1}{2}=- \frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 9=\frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(-3)=\frac{9}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{- \frac{9}{2};0;-4\}$$ Подставляем $x=- \frac{9}{2}$ в исходную формулу: $$y(- \frac{9}{2})=9 \left(- \frac{9}{2}\right) - 9 \ln{\left(\left(- \frac{9}{2}\right) + 5 \right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 5=\frac{1}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \left(- \frac{9}{2}\right)=- \frac{81}{2}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(- \frac{9}{2})=- \frac{81}{2} - 9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $-34{,}261675$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=0$ в исходную формулу: $$y(0)=9 \left(0\right) - 9 \ln{\left(\left(0\right) + 5 \right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 5=5$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 9 \ln{\left(5 \right)} + 0=- 9 \ln{\left(5 \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(0)=- 9 \ln{\left(5 \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $-14{,}484941$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=-4$ в исходную формулу: $$y(-4)=9 \left(-4\right) - 9 \ln{\left(\left(-4\right) + 5 \right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-4 + 5=1$$ Натуральный логарифм единицы равен нулю: степень числа e, дающая 1, равна 0. $$\ln{\left(1 \right)}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 0=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \left(-4\right)=-36$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-36 + 0=-36$$ После выполненных действий остаётся: $$y(-4)=-36$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=-4$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(-4)=-36$$ Ответ: $-36$. Это значение функции y, а не подставленное число x.