ФИПИ ACB0C6 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 4>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>4$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-7$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-7)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 9 x)^{\prime}=(-9)\cdot(1)\cdot x^{0}=-9$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 4,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(9 \ln{\left(x - 4 \right)})^{\prime}=(9)\cdot\frac{1}{x - 4}=\frac{9}{x - 4}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-9 + \frac{9}{x - 4}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-9 + \frac{9}{x - 4}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(36 - 9 x) + (9)}{x - 4}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{45 - 9 x}{x - 4}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$45 - 9 x=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 9 x=-45$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-45}{-9}=5$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(4;5)$ возьмём $x=\frac{9}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{9}{2})=-9 + \frac{9}{\left(\frac{9}{2}\right) - 4}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-4 + \frac{9}{2}=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 2=18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + 18=9$$ $$y^{\prime}(\frac{9}{2})=9>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(5;\infty)$ возьмём $x=6$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(6)=-9 + \frac{9}{\left(6\right) - 4}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-4 + 6=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + \frac{9}{2}=- \frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(6)=- \frac{9}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=5$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=5$$ Ответ: $5$.