ФИПИ D1E7BE — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 7>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>7$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-3$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-3)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 2 x)^{\prime}=(-2)\cdot(1)\cdot x^{0}=-2$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 7,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(\ln{\left(x - 7 \right)})^{\prime}=(1)\cdot\frac{1}{x - 7}=\frac{1}{x - 7}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-2 + \frac{1}{x - 7}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-2 + \frac{1}{x - 7}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(14 - 2 x) + (1)}{x - 7}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{15 - 2 x}{x - 7}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$15 - 2 x=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 2 x=-15$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-15}{-2}=\frac{15}{2}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(7;\frac{15}{2})$ возьмём $x=\frac{29}{4}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{29}{4})=-2 + \frac{1}{\left(\frac{29}{4}\right) - 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + \frac{29}{4}=\frac{1}{4}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + 4=2$$ $$y^{\prime}(\frac{29}{4})=2>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(\frac{15}{2};\infty)$ возьмём $x=\frac{17}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{17}{2})=-2 + \frac{1}{\left(\frac{17}{2}\right) - 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + \frac{17}{2}=\frac{3}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + \frac{2}{3}=- \frac{4}{3}$$ $$y^{\prime}(\frac{17}{2})=- \frac{4}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=\frac{15}{2}$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=\frac{15}{2}$$ Ответ: $\frac{15}{2}$.