ФИПИ 033968 — Логарифмические функции

Нужно найти точку минимума функции $$y=9x-\ln((x-2)^9)-8.$$ В этой формулировке «точка минимума» — это значение $x$, при переходе через которое функция сначала убывает, затем возрастает. Найдём его по знаку производной. Значение $y$ в окончательный ответ здесь подставлять не требуется. Шаг 1. Проверим область определения и упростим логарифм. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$(x-2)^9>0.$$ Степень 9 нечётная: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, положительное — положительным, ноль даёт ноль. Поэтому условие равносильно $x-2>0$. Прибавляем 2 к обеим частям: $$x>2.$$ На этой области $x-2>0$, поэтому можно применить свойство $\ln(u^n)=n\ln u$: $$\ln((x-2)^9)=9\ln(x-2).$$ Исходная функция принимает вид $$y=9x-9\ln(x-2)-8.$$ Шаг 2. Найдём производную. Производная $9x$ равна 9. Для логарифма используем $(\ln u)'=u'/u$: здесь $u=x-2$, $u'=1$, поэтому $$(\ln(x-2))'=\frac1{x-2}.$$ Множитель $-9$ сохраняем, а производная постоянного числа $-8$ равна 0: $$y'=9-\frac9{x-2}.$$ Приводим к общему знаменателю $x-2$: $$9=\frac{9(x-2)}{x-2},$$ $$y'=\frac{9(x-2)-9}{x-2}.$$ Раскрываем скобки: $9(x-2)=9x-18$. Тогда $$y'=\frac{9x-18-9}{x-2}=\frac{9x-27}{x-2}.$$ Шаг 3. Найдём, где производная равна нулю. В области $x>2$ знаменатель ненулевой, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю: $$9x-27=0.$$ Прибавляем 27 к обеим частям, затем делим на 9: $$9x=27,\qquad x=\frac{27}9=3.$$ Число 3 удовлетворяет ограничению $x>2$. Шаг 4. Проверим изменение знака производной. Знаменатель $x-2$ положителен на всей области определения. Значит, знак производной определяется числителем. При $2<x<3$ имеем $9x<27$, следовательно, $9x-27<0$ и $y'<0$: функция убывает. При $x>3$ имеем $9x>27$, следовательно, $9x-27>0$ и $y'>0$: функция возрастает. Итак, слева от 3 значения уменьшаются, справа от 3 увеличиваются. Поэтому $x=3$ — точка минимума. Проверка нуля производной: $$y'(3)=9-\frac9{3-2}=9-\frac91=9-9=0.$$ Ответ: $3$.