ФИПИ 47384A — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $31$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(31)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{2})^{\prime}=(1)\cdot(2)\cdot x^{1}=2 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 28 x)^{\prime}=(-28)\cdot(1)\cdot x^{0}=-28$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(96 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(96)\cdot\frac{1}{x}=\frac{96}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=2 x - 28 + \frac{96}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$2 x - 28 + \frac{96}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 28 x) + (2 x^{2}) + (96)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{2 x^{2} - 28 x + 96}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$2 x^{2} - 28 x + 96=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-28,\qquad C=96$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-28)^2=784$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(96)=768$$ $$D=B^2-4AC=784-(768)=16$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{16}=4$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-28)+4}{2\cdot(2)}=\frac{32}{4}=8$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-28)-4}{2\cdot(2)}=\frac{24}{4}=6$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;6)$ возьмём $x=3$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(3)=2 \left(3\right) - 28 + \frac{96}{\left(3\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 3=6$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$96 \cdot \frac{1}{3}=32$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-28 + 6 + 32=10$$ $$y^{\prime}(3)=10>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(6;8)$ возьмём $x=7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(7)=2 \left(7\right) - 28 + \frac{96}{\left(7\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 7=14$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$96 \cdot \frac{1}{7}=\frac{96}{7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-28 + \frac{96}{7} + 14=- \frac{2}{7}$$ $$y^{\prime}(7)=- \frac{2}{7}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(8;\infty)$ возьмём $x=9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(9)=2 \left(9\right) - 28 + \frac{96}{\left(9\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 9=18$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$96 \cdot \frac{1}{9}=\frac{32}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-28 + \frac{32}{3} + 18=\frac{2}{3}$$ $$y^{\prime}(9)=\frac{2}{3}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=8$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=8$$ Ответ: $8$.