ФИПИ 88E991 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 3>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-3$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(4)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 3,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 9 \ln{\left(x + 3 \right)})^{\prime}=(-9)\cdot\frac{1}{x + 3}=- \frac{9}{x + 3}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(9 x)^{\prime}=(9)\cdot(1)\cdot x^{0}=9$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=9 - \frac{9}{x + 3}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$9 - \frac{9}{x + 3}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(9 x + 27) + (-9)}{x + 3}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{9 x + 18}{x + 3}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$9 x + 18=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$9 x=-18$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-18}{9}=-2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-3;-2)$ возьмём $x=- \frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=9 - \frac{9}{\left(- \frac{5}{2}\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{5}{2} + 3=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 2=-18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-18 + 9=-9$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=-9<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-2;\infty)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=9 - \frac{9}{\left(-1\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1 + 3=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \frac{1}{2}=- \frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 9=\frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(-1)=\frac{9}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-2$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-2$$ Ответ: $-2$.