ФИПИ 97AEB6 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое большое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{13}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 7>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-7$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(4)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 9 x)^{\prime}=(-9)\cdot(1)\cdot x^{0}=-9$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 7,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(9 \ln{\left(x + 7 \right)})^{\prime}=(9)\cdot\frac{1}{x + 7}=\frac{9}{x + 7}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-9 + \frac{9}{x + 7}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-9 + \frac{9}{x + 7}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 9 x - 63) + (9)}{x + 7}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{- 9 x - 54}{x + 7}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$- 9 x - 54=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 9 x=54$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{54}{-9}=-6$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-7;-6)$ возьмём $x=- \frac{13}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{13}{2})=-9 + \frac{9}{\left(- \frac{13}{2}\right) + 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{13}{2} + 7=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 2=18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + 18=9$$ $$y^{\prime}(- \frac{13}{2})=9>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-6;\infty)$ возьмём $x=-5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-5)=-9 + \frac{9}{\left(-5\right) + 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-5 + 7=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + \frac{9}{2}=- \frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(-5)=- \frac{9}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{- \frac{13}{2};0;-6\}$$ Подставляем $x=- \frac{13}{2}$ в исходную формулу: $$y(- \frac{13}{2})=- 9 \left(- \frac{13}{2}\right) + 9 \ln{\left(\left(- \frac{13}{2}\right) + 7 \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \left(- \frac{13}{2}\right)=\frac{117}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{13}{2} + 7=\frac{1}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4 + \frac{117}{2}=9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{125}{2}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(- \frac{13}{2})=9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{125}{2}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $56{,}261675$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=0$ в исходную формулу: $$y(0)=- 9 \left(0\right) + 9 \ln{\left(\left(0\right) + 7 \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 7=7$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 4 + 9 \ln{\left(7 \right)}=4 + 9 \ln{\left(7 \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(0)=4 + 9 \ln{\left(7 \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $21{,}513191$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=-6$ в исходную формулу: $$y(-6)=- 9 \left(-6\right) + 9 \ln{\left(\left(-6\right) + 7 \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \left(-6\right)=54$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-6 + 7=1$$ Натуральный логарифм единицы равен нулю: степень числа e, дающая 1, равна 0. $$\ln{\left(1 \right)}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 4 + 54=58$$ После выполненных действий остаётся: $$y(-6)=58$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=-6$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(-6)=58$$ Ответ: $58$. Это значение функции y, а не подставленное число x.