ФИПИ B224D1 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 3>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-3$$ В условии логарифм записан от нечётной степени выражения. Нечётная степень положительна тогда и только тогда, когда положительно само выражение. На этой области применяем свойство $\ln(u^n)=n\ln u$. Получаем удобную запись той же функции: $$y=5 x - 5 \ln{\left(x + 3 \right)} + 6$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $6$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(6)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 3,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 5 \ln{\left(x + 3 \right)})^{\prime}=(-5)\cdot\frac{1}{x + 3}=- \frac{5}{x + 3}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(5 x)^{\prime}=(5)\cdot(1)\cdot x^{0}=5$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=5 - \frac{5}{x + 3}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$5 - \frac{5}{x + 3}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(5 x + 15) + (-5)}{x + 3}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{5 x + 10}{x + 3}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$5 x + 10=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$5 x=-10$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-10}{5}=-2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-3;-2)$ возьмём $x=- \frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=5 - \frac{5}{\left(- \frac{5}{2}\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{5}{2} + 3=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) 2=-10$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 5=-5$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=-5<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-2;\infty)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=5 - \frac{5}{\left(-1\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1 + 3=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) \frac{1}{2}=- \frac{5}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{5}{2} + 5=\frac{5}{2}$$ $$y^{\prime}(-1)=\frac{5}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-2$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-2$$ Ответ: $-2$.