ФИПИ DF0B44 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое большое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{17}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 9>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-9$$ В условии логарифм записан от нечётной степени выражения. Нечётная степень положительна тогда и только тогда, когда положительно само выражение. На этой области применяем свойство $\ln(u^n)=n\ln u$. Получаем удобную запись той же функции: $$y=- 5 x + 5 \ln{\left(x + 9 \right)}$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 5 x)^{\prime}=(-5)\cdot(1)\cdot x^{0}=-5$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 9,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(5 \ln{\left(x + 9 \right)})^{\prime}=(5)\cdot\frac{1}{x + 9}=\frac{5}{x + 9}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-5 + \frac{5}{x + 9}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-5 + \frac{5}{x + 9}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 5 x - 45) + (5)}{x + 9}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{- 5 x - 40}{x + 9}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$- 5 x - 40=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 5 x=40$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{40}{-5}=-8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-9;-8)$ возьмём $x=- \frac{17}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{17}{2})=-5 + \frac{5}{\left(- \frac{17}{2}\right) + 9}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{17}{2} + 9=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$5 \cdot 2=10$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-5 + 10=5$$ $$y^{\prime}(- \frac{17}{2})=5>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-8;\infty)$ возьмём $x=-7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-7)=-5 + \frac{5}{\left(-7\right) + 9}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + 9=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$5 \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-5 + \frac{5}{2}=- \frac{5}{2}$$ $$y^{\prime}(-7)=- \frac{5}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{- \frac{17}{2};0;-8\}$$ Подставляем $x=- \frac{17}{2}$ в исходную формулу: $$y(- \frac{17}{2})=- 5 \left(- \frac{17}{2}\right) + 5 \ln{\left(\left(- \frac{17}{2}\right) + 9 \right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) \left(- \frac{17}{2}\right)=\frac{85}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{17}{2} + 9=\frac{1}{2}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(- \frac{17}{2})=5 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{85}{2}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $39{,}034264$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=0$ в исходную формулу: $$y(0)=- 5 \left(0\right) + 5 \ln{\left(\left(0\right) + 9 \right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 9=9$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 5 \ln{\left(9 \right)}=5 \ln{\left(9 \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(0)=5 \ln{\left(9 \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $10{,}986123$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=-8$ в исходную формулу: $$y(-8)=- 5 \left(-8\right) + 5 \ln{\left(\left(-8\right) + 9 \right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) \left(-8\right)=40$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-8 + 9=1$$ Натуральный логарифм единицы равен нулю: степень числа e, дающая 1, равна 0. $$\ln{\left(1 \right)}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$5 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 40=40$$ После выполненных действий остаётся: $$y(-8)=40$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=-8$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(-8)=40$$ Ответ: $40$. Это значение функции y, а не подставленное число x.