ФИПИ 285552 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 3>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-3$$ В условии логарифм записан от нечётной степени выражения. Нечётная степень положительна тогда и только тогда, когда положительно само выражение. На этой области применяем свойство $\ln(u^n)=n\ln u$. Получаем удобную запись той же функции: $$y=- 7 x + 7 \ln{\left(x + 3 \right)} - 9$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-9$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-9)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 7 x)^{\prime}=(-7)\cdot(1)\cdot x^{0}=-7$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 3,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(7 \ln{\left(x + 3 \right)})^{\prime}=(7)\cdot\frac{1}{x + 3}=\frac{7}{x + 3}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-7 + \frac{7}{x + 3}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-7 + \frac{7}{x + 3}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 7 x - 21) + (7)}{x + 3}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{- 7 x - 14}{x + 3}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$- 7 x - 14=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 7 x=14$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{14}{-7}=-2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-3;-2)$ возьмём $x=- \frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=-7 + \frac{7}{\left(- \frac{5}{2}\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{5}{2} + 3=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot 2=14$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + 14=7$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=7>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-2;\infty)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=-7 + \frac{7}{\left(-1\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1 + 3=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot \frac{1}{2}=\frac{7}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + \frac{7}{2}=- \frac{7}{2}$$ $$y^{\prime}(-1)=- \frac{7}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-2$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-2$$ Ответ: $-2$.