ФИПИ 659A4A — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $67$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(67)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 29 x)^{\prime}=(-29)\cdot(1)\cdot x^{0}=-29$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(30 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(30)\cdot\frac{1}{x}=\frac{30}{x}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(\frac{7 x^{2}}{2})^{\prime}=(\frac{7}{2})\cdot(2)\cdot x^{1}=7 x$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=7 x - 29 + \frac{30}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$7 x - 29 + \frac{30}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 29 x) + (7 x^{2}) + (30)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{7 x^{2} - 29 x + 30}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$7 x^{2} - 29 x + 30=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=7,\qquad B=-29,\qquad C=30$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-29)^2=841$$ $$4AC=4\cdot(7)\cdot(30)=840$$ $$D=B^2-4AC=841-(840)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-29)+1}{2\cdot(7)}=\frac{30}{14}=\frac{15}{7}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-29)-1}{2\cdot(7)}=\frac{28}{14}=2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;2)$ возьмём $x=1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(1)=7 \left(1\right) - 29 + \frac{30}{\left(1\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot 1=7$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$1^{-1}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$30 \cdot 1=30$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-29 + 7 + 30=8$$ $$y^{\prime}(1)=8>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(2;\frac{15}{7})$ возьмём $x=\frac{29}{14}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{29}{14})=7 \left(\frac{29}{14}\right) - 29 + \frac{30}{\left(\frac{29}{14}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot \frac{29}{14}=\frac{29}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{29}{14}}=\frac{14}{29}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$30 \cdot \frac{14}{29}=\frac{420}{29}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-29 + \frac{420}{29} + \frac{29}{2}=- \frac{1}{58}$$ $$y^{\prime}(\frac{29}{14})=- \frac{1}{58}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(\frac{15}{7};\infty)$ возьмём $x=\frac{22}{7}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{22}{7})=7 \left(\frac{22}{7}\right) - 29 + \frac{30}{\left(\frac{22}{7}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot \frac{22}{7}=22$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{22}{7}}=\frac{7}{22}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$30 \cdot \frac{7}{22}=\frac{105}{11}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-29 + \frac{105}{11} + 22=\frac{28}{11}$$ $$y^{\prime}(\frac{22}{7})=\frac{28}{11}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=2$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=2$$ Ответ: $2$.