ФИПИ 688D26 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $43$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(43)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(\frac{x^{2}}{2})^{\prime}=(\frac{1}{2})\cdot(2)\cdot x^{1}=x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 21 x)^{\prime}=(-21)\cdot(1)\cdot x^{0}=-21$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(110 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(110)\cdot\frac{1}{x}=\frac{110}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=x - 21 + \frac{110}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$x - 21 + \frac{110}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 21 x) + (x^{2}) + (110)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{x^{2} - 21 x + 110}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$x^{2} - 21 x + 110=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-21,\qquad C=110$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-21)^2=441$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(110)=440$$ $$D=B^2-4AC=441-(440)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-21)+1}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-21)-1}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;10)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=\left(5\right) - 21 + \frac{110}{\left(5\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$110 \cdot \frac{1}{5}=22$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-21 + 5 + 22=6$$ $$y^{\prime}(5)=6>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(10;11)$ возьмём $x=\frac{21}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{21}{2})=\left(\frac{21}{2}\right) - 21 + \frac{110}{\left(\frac{21}{2}\right)}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{21}{2}}=\frac{2}{21}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$110 \cdot \frac{2}{21}=\frac{220}{21}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-21 + \frac{220}{21} + \frac{21}{2}=- \frac{1}{42}$$ $$y^{\prime}(\frac{21}{2})=- \frac{1}{42}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(11;\infty)$ возьмём $x=12$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(12)=\left(12\right) - 21 + \frac{110}{\left(12\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$110 \cdot \frac{1}{12}=\frac{55}{6}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-21 + \frac{55}{6} + 12=\frac{1}{6}$$ $$y^{\prime}(12)=\frac{1}{6}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=10$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=10$$ Ответ: $10$.