ФИПИ 81F510 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 23 x)^{\prime}=(-23)\cdot(1)\cdot x^{0}=-23$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(2 x^{2})^{\prime}=(2)\cdot(2)\cdot x^{1}=4 x$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(33 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(33)\cdot\frac{1}{x}=\frac{33}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=4 x - 23 + \frac{33}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$4 x - 23 + \frac{33}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 23 x) + (4 x^{2}) + (33)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{4 x^{2} - 23 x + 33}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$4 x^{2} - 23 x + 33=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=4,\qquad B=-23,\qquad C=33$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-23)^2=529$$ $$4AC=4\cdot(4)\cdot(33)=528$$ $$D=B^2-4AC=529-(528)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-23)+1}{2\cdot(4)}=\frac{24}{8}=3$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-23)-1}{2\cdot(4)}=\frac{22}{8}=\frac{11}{4}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;\frac{11}{4})$ возьмём $x=\frac{11}{8}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{11}{8})=4 \left(\frac{11}{8}\right) - 23 + \frac{33}{\left(\frac{11}{8}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$4 \cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{11}{8}}=\frac{8}{11}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$33 \cdot \frac{8}{11}=24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-23 + \frac{11}{2} + 24=\frac{13}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{11}{8})=\frac{13}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(\frac{11}{4};3)$ возьмём $x=\frac{23}{8}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{23}{8})=4 \left(\frac{23}{8}\right) - 23 + \frac{33}{\left(\frac{23}{8}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$4 \cdot \frac{23}{8}=\frac{23}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{23}{8}}=\frac{8}{23}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$33 \cdot \frac{8}{23}=\frac{264}{23}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-23 + \frac{264}{23} + \frac{23}{2}=- \frac{1}{46}$$ $$y^{\prime}(\frac{23}{8})=- \frac{1}{46}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=4 \left(4\right) - 23 + \frac{33}{\left(4\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$4 \cdot 4=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$33 \cdot \frac{1}{4}=\frac{33}{4}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-23 + \frac{33}{4} + 16=\frac{5}{4}$$ $$y^{\prime}(4)=\frac{5}{4}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=3$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=3$$ Ответ: $3$.