ФИПИ 933FFF — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 7>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>7$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-8$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-8)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 7,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 3 \ln{\left(x - 7 \right)})^{\prime}=(-3)\cdot\frac{1}{x - 7}=- \frac{3}{x - 7}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(3 x)^{\prime}=(3)\cdot(1)\cdot x^{0}=3$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 - \frac{3}{x - 7}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 - \frac{3}{x - 7}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(3 x - 21) + (-3)}{x - 7}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{3 x - 24}{x - 7}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$3 x - 24=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$3 x=24$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{24}{3}=8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(7;8)$ возьмём $x=\frac{15}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{15}{2})=3 - \frac{3}{\left(\frac{15}{2}\right) - 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + \frac{15}{2}=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-3\right) 2=-6$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-6 + 3=-3$$ $$y^{\prime}(\frac{15}{2})=-3<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(8;\infty)$ возьмём $x=9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(9)=3 - \frac{3}{\left(9\right) - 7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + 9=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-3\right) \frac{1}{2}=- \frac{3}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{3}{2} + 3=\frac{3}{2}$$ $$y^{\prime}(9)=\frac{3}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=8$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=8$$ Ответ: $8$.