ФИПИ BDEF76 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$\frac{1}{24}\le x\le \frac{5}{24}$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$12 x>0$$ Делим обе части на положительный коэффициент $12$. Знак неравенства сохраняется: $$x>0$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(4)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=12 x,\qquad u^{\prime}=12$$ $$(- \ln{\left(12 x \right)})^{\prime}=(-1)\cdot\frac{12}{12 x}=- \frac{1}{x}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(12 x)^{\prime}=(12)\cdot(1)\cdot x^{0}=12$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=12 - \frac{1}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$12 - \frac{1}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(12 x) + (-1)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{12 x - 1}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$12 x - 1=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$12 x=1$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{1}{12}=\frac{1}{12}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;\frac{1}{12})$ возьмём $x=\frac{1}{24}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{1}{24})=12 - \frac{1}{\left(\frac{1}{24}\right)}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{24}}=24$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 24=-24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-24 + 12=-12$$ $$y^{\prime}(\frac{1}{24})=-12<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(\frac{1}{12};\infty)$ возьмём $x=\frac{13}{12}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{13}{12})=12 - \frac{1}{\left(\frac{13}{12}\right)}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{13}{12}}=\frac{12}{13}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) \frac{12}{13}=- \frac{12}{13}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{12}{13} + 12=\frac{144}{13}$$ $$y^{\prime}(\frac{13}{12})=\frac{144}{13}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{\frac{1}{24};\frac{5}{24};\frac{1}{12}\}$$ Подставляем $x=\frac{1}{24}$ в исходную формулу: $$y(\frac{1}{24})=12 \left(\frac{1}{24}\right) - \ln{\left(12 \left(\frac{1}{24}\right) \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot \frac{1}{24}=\frac{1}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$\frac{1}{2} - \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4=\frac{9}{2} - \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(\frac{1}{24})=\frac{9}{2} - \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $5{,}193147$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=\frac{5}{24}$ в исходную формулу: $$y(\frac{5}{24})=12 \left(\frac{5}{24}\right) - \ln{\left(12 \left(\frac{5}{24}\right) \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot \frac{5}{24}=\frac{5}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \ln{\left(\frac{5}{2} \right)} + \frac{5}{2} + 4=\frac{13}{2} - \ln{\left(\frac{5}{2} \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(\frac{5}{24})=\frac{13}{2} - \ln{\left(\frac{5}{2} \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $5{,}583709$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=\frac{1}{12}$ в исходную формулу: $$y(\frac{1}{12})=12 \left(\frac{1}{12}\right) - \ln{\left(12 \left(\frac{1}{12}\right) \right)} + 4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot \frac{1}{12}=1$$ Натуральный логарифм единицы равен нулю: степень числа e, дающая 1, равна 0. $$\ln{\left(1 \right)}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 1 + 4=5$$ После выполненных действий остаётся: $$y(\frac{1}{12})=5$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=\frac{1}{12}$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(\frac{1}{12})=5$$ Ответ: $5$. Это значение функции y, а не подставленное число x.