ФИПИ DF872D — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 5>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>5$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $3$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(3)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 5,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- \ln{\left(x - 5 \right)})^{\prime}=(-1)\cdot\frac{1}{x - 5}=- \frac{1}{x - 5}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(10 x)^{\prime}=(10)\cdot(1)\cdot x^{0}=10$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=10 - \frac{1}{x - 5}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$10 - \frac{1}{x - 5}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(10 x - 50) + (-1)}{x - 5}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{10 x - 51}{x - 5}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$10 x - 51=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$10 x=51$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{51}{10}=\frac{51}{10}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(5;\frac{51}{10})$ возьмём $x=\frac{101}{20}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{101}{20})=10 - \frac{1}{\left(\frac{101}{20}\right) - 5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-5 + \frac{101}{20}=\frac{1}{20}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{20}}=20$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 20=-20$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + 10=-10$$ $$y^{\prime}(\frac{101}{20})=-10<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(\frac{51}{10};\infty)$ возьмём $x=\frac{61}{10}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{61}{10})=10 - \frac{1}{\left(\frac{61}{10}\right) - 5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-5 + \frac{61}{10}=\frac{11}{10}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{11}{10}}=\frac{10}{11}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) \frac{10}{11}=- \frac{10}{11}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{10}{11} + 10=\frac{100}{11}$$ $$y^{\prime}(\frac{61}{10})=\frac{100}{11}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=\frac{51}{10}$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=\frac{51}{10}$$ Ответ: $\frac{51}{10}$.