ФИПИ 1ECEE8 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $74$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(74)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{2})^{\prime}=(1)\cdot(2)\cdot x^{1}=2 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 33 x)^{\prime}=(-33)\cdot(1)\cdot x^{0}=-33$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(136 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(136)\cdot\frac{1}{x}=\frac{136}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=2 x - 33 + \frac{136}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$2 x - 33 + \frac{136}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 33 x) + (2 x^{2}) + (136)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{2 x^{2} - 33 x + 136}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$2 x^{2} - 33 x + 136=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-33,\qquad C=136$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-33)^2=1089$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(136)=1088$$ $$D=B^2-4AC=1089-(1088)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-33)+1}{2\cdot(2)}=\frac{34}{4}=\frac{17}{2}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-33)-1}{2\cdot(2)}=\frac{32}{4}=8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;8)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=2 \left(4\right) - 33 + \frac{136}{\left(4\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 4=8$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$136 \cdot \frac{1}{4}=34$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-33 + 8 + 34=9$$ $$y^{\prime}(4)=9>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(8;\frac{17}{2})$ возьмём $x=\frac{33}{4}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{33}{4})=2 \left(\frac{33}{4}\right) - 33 + \frac{136}{\left(\frac{33}{4}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot \frac{33}{4}=\frac{33}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{33}{4}}=\frac{4}{33}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$136 \cdot \frac{4}{33}=\frac{544}{33}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-33 + \frac{544}{33} + \frac{33}{2}=- \frac{1}{66}$$ $$y^{\prime}(\frac{33}{4})=- \frac{1}{66}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(\frac{17}{2};\infty)$ возьмём $x=\frac{19}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{19}{2})=2 \left(\frac{19}{2}\right) - 33 + \frac{136}{\left(\frac{19}{2}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot \frac{19}{2}=19$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{19}{2}}=\frac{2}{19}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$136 \cdot \frac{2}{19}=\frac{272}{19}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-33 + \frac{272}{19} + 19=\frac{6}{19}$$ $$y^{\prime}(\frac{19}{2})=\frac{6}{19}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=8$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=8$$ Ответ: $8$.