ФИПИ 425124 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-97$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-97)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{2})^{\prime}=(1)\cdot(2)\cdot x^{1}=2 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 20 x)^{\prime}=(-20)\cdot(1)\cdot x^{0}=-20$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(48 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(48)\cdot\frac{1}{x}=\frac{48}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=2 x - 20 + \frac{48}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$2 x - 20 + \frac{48}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 20 x) + (2 x^{2}) + (48)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{2 x^{2} - 20 x + 48}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$2 x^{2} - 20 x + 48=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-20,\qquad C=48$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-20)^2=400$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(48)=384$$ $$D=B^2-4AC=400-(384)=16$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{16}=4$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-20)+4}{2\cdot(2)}=\frac{24}{4}=6$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-20)-4}{2\cdot(2)}=\frac{16}{4}=4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;4)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=2 \left(2\right) - 20 + \frac{48}{\left(2\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 2=4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$48 \cdot \frac{1}{2}=24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + 4 + 24=8$$ $$y^{\prime}(2)=8>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(4;6)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=2 \left(5\right) - 20 + \frac{48}{\left(5\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 5=10$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$48 \cdot \frac{1}{5}=\frac{48}{5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + \frac{48}{5} + 10=- \frac{2}{5}$$ $$y^{\prime}(5)=- \frac{2}{5}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(6;\infty)$ возьмём $x=7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(7)=2 \left(7\right) - 20 + \frac{48}{\left(7\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 7=14$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$48 \cdot \frac{1}{7}=\frac{48}{7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + \frac{48}{7} + 14=\frac{6}{7}$$ $$y^{\prime}(7)=\frac{6}{7}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=6$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=6$$ Ответ: $6$.