ФИПИ 336660 — Логарифмические функции

Нужно найти самое большое значение функции $$y=\ln(8x)-8x+7$$ при $1/16\le x\le5/16$. Здесь $x$ — число, которое мы подставляем, а $y$ — полученный результат. Например, если мы найдём подходящее $x=1/8$, работу надо продолжить: вычислить $y$ при этом $x$. В ответе спрашивается именно результат $y$. Шаг 1. Объясним способ поиска. Наибольшее значение на отрезке может находиться внутри него или на одном из концов. Мы выясним, где функция растёт и где убывает. Если она сначала растёт, а потом убывает, самое большое значение будет в месте перехода между этими участками. Концы отрезка также будут учтены: нужно проверить, что до них значение больше не становится. Направление изменения определяем по производной: при $y'>0$ функция возрастает, при $y'<0$ — убывает. Шаг 2. Проверим область определения и найдём производную. Аргумент логарифма должен быть положительным: $$8x>0.$$ Делим обе части на положительное число 8, знак сохраняется: $$x>0.$$ Все числа заданного отрезка положительны. Поэтому формула определена и непрерывна на всём отрезке. Для логарифма применяем правило $(\ln u)'=u'/u$. Здесь $u=8x$, поэтому $u'=8$: $$(\ln(8x))'=\frac8{8x}=\frac1x.$$ Производная $-8x$ равна $-8$, производная постоянного числа 7 равна 0. Складываем: $$y'=\frac1x-8.$$ Приведём к общему знаменателю $x$: число 8 запишем как $8x/x$: $$y'=\frac1x-\frac{8x}x=\frac{1-8x}{x}.$$ Шаг 3. Найдём точку, где производная равна нулю. При $x>0$ знаменатель ненулевой. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $$1-8x=0.$$ Вычитаем 1 из обеих частей: $$-8x=-1.$$ Делим обе части на $-8$: $$x=\frac{-1}{-8}=\frac18.$$ Точка находится внутри заданного отрезка. Чтобы сравнить дроби, приведём их к знаменателю 16: $$\frac18=\frac2{16},\qquad\frac1{16}<\frac2{16}<\frac5{16}.$$ Шаг 4. Докажем, что здесь достигается наибольшее значение. Знаменатель производной $x$ положителен на всём отрезке. Поэтому её знак совпадает со знаком числителя $1-8x$. Слева от $1/8$ имеем $x<1/8$. Умножаем на 8: $8x<1$. Вычитаем $8x$ из обеих частей: $1-8x>0$. Значит, $y'>0$, и на участке от $1/16$ до $1/8$ функция растёт. Справа от $1/8$ имеем $x>1/8$. Тогда $8x>1$, а $1-8x<0$. Значит, $y'<0$, и на участке от $1/8$ до $5/16$ функция убывает. Итак, от левого конца к $1/8$ значения увеличиваются, а от $1/8$ к правому концу уменьшаются. Поэтому ни на левом, ни на правом конце значение не больше, чем при $x=1/8$. Это доказывает выбор для всего отрезка, включая его границы. Шаг 5. Подставим найденное $x$ в исходную функцию. $$y\left(\frac18\right)=\ln\left(8\cdot\frac18\right)-8\cdot\frac18+7.$$ Выполняем умножение: $$8\cdot\frac18=\frac88=1.$$ Поэтому $$y\left(\frac18\right)=\ln1-1+7.$$ Натуральный логарифм 1 равен 0: $e^0=1$, следовательно, $\ln1=0$. Осталось сложить числа: $$0-1+7=-1+7=6.$$ Ответ: $6$. Это наибольшее значение $y$; оно достигается при $x=1/8$.