ФИПИ 1E41B2 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 2>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>2$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $11$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(11)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 10 x)^{\prime}=(-10)\cdot(1)\cdot x^{0}=-10$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 2,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(10 \ln{\left(x - 2 \right)})^{\prime}=(10)\cdot\frac{1}{x - 2}=\frac{10}{x - 2}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-10 + \frac{10}{x - 2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-10 + \frac{10}{x - 2}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(20 - 10 x) + (10)}{x - 2}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{30 - 10 x}{x - 2}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$30 - 10 x=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 10 x=-30$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-30}{-10}=3$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(2;3)$ возьмём $x=\frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{5}{2})=-10 + \frac{10}{\left(\frac{5}{2}\right) - 2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + \frac{5}{2}=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \cdot 2=20$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 20=10$$ $$y^{\prime}(\frac{5}{2})=10>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=-10 + \frac{10}{\left(4\right) - 2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + 4=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \cdot \frac{1}{2}=5$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 5=-5$$ $$y^{\prime}(4)=-5<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=3$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=3$$ Ответ: $3$.