ФИПИ DE13F8 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{9}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 5>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-5$$ В условии логарифм записан от нечётной степени выражения. Нечётная степень положительна тогда и только тогда, когда положительно само выражение. На этой области применяем свойство $\ln(u^n)=n\ln u$. Получаем удобную запись той же функции: $$y=9 x - 9 \ln{\left(x + 5 \right)}$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 5,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 9 \ln{\left(x + 5 \right)})^{\prime}=(-9)\cdot\frac{1}{x + 5}=- \frac{9}{x + 5}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(9 x)^{\prime}=(9)\cdot(1)\cdot x^{0}=9$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=9 - \frac{9}{x + 5}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$9 - \frac{9}{x + 5}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(9 x + 45) + (-9)}{x + 5}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{9 x + 36}{x + 5}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$9 x + 36=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$9 x=-36$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-36}{9}=-4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-5;-4)$ возьмём $x=- \frac{9}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{9}{2})=9 - \frac{9}{\left(- \frac{9}{2}\right) + 5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 5=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 2=-18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-18 + 9=-9$$ $$y^{\prime}(- \frac{9}{2})=-9<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-4;\infty)$ возьмём $x=-3$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-3)=9 - \frac{9}{\left(-3\right) + 5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-3 + 5=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \frac{1}{2}=- \frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 9=\frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(-3)=\frac{9}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{- \frac{9}{2};0;-4\}$$ Подставляем $x=- \frac{9}{2}$ в исходную формулу: $$y(- \frac{9}{2})=9 \left(- \frac{9}{2}\right) - 9 \ln{\left(\left(- \frac{9}{2}\right) + 5 \right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 5=\frac{1}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \left(- \frac{9}{2}\right)=- \frac{81}{2}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(- \frac{9}{2})=- \frac{81}{2} - 9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $-34{,}261675$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=0$ в исходную формулу: $$y(0)=9 \left(0\right) - 9 \ln{\left(\left(0\right) + 5 \right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 5=5$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 9 \ln{\left(5 \right)} + 0=- 9 \ln{\left(5 \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(0)=- 9 \ln{\left(5 \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $-14{,}484941$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=-4$ в исходную формулу: $$y(-4)=9 \left(-4\right) - 9 \ln{\left(\left(-4\right) + 5 \right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-4 + 5=1$$ Натуральный логарифм единицы равен нулю: степень числа e, дающая 1, равна 0. $$\ln{\left(1 \right)}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 0=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \left(-4\right)=-36$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-36 + 0=-36$$ После выполненных действий остаётся: $$y(-4)=-36$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=-4$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(-4)=-36$$ Ответ: $-36$. Это значение функции y, а не подставленное число x.