ФИПИ 9A1329 — Логарифмические функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{21}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 11>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-11$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $7$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(7)^{\prime}=0$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 11,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(- 9 \ln{\left(x + 11 \right)})^{\prime}=(-9)\cdot\frac{1}{x + 11}=- \frac{9}{x + 11}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(9 x)^{\prime}=(9)\cdot(1)\cdot x^{0}=9$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=9 - \frac{9}{x + 11}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$9 - \frac{9}{x + 11}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(9 x + 99) + (-9)}{x + 11}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{9 x + 90}{x + 11}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$9 x + 90=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$9 x=-90$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-90}{9}=-10$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-11;-10)$ возьмём $x=- \frac{21}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{21}{2})=9 - \frac{9}{\left(- \frac{21}{2}\right) + 11}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{21}{2} + 11=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 2=-18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-18 + 9=-9$$ $$y^{\prime}(- \frac{21}{2})=-9<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-10;\infty)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-9)=9 - \frac{9}{\left(-9\right) + 11}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + 11=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) \frac{1}{2}=- \frac{9}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{9}{2} + 9=\frac{9}{2}$$ $$y^{\prime}(-9)=\frac{9}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{- \frac{21}{2};0;-10\}$$ Подставляем $x=- \frac{21}{2}$ в исходную формулу: $$y(- \frac{21}{2})=9 \left(- \frac{21}{2}\right) - 9 \ln{\left(\left(- \frac{21}{2}\right) + 11 \right)} + 7$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{21}{2} + 11=\frac{1}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \left(- \frac{21}{2}\right)=- \frac{189}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{189}{2} - 9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)} + 7=- \frac{175}{2} - 9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(- \frac{21}{2})=- \frac{175}{2} - 9 \ln{\left(\frac{1}{2} \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $-81{,}261675$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=0$ в исходную формулу: $$y(0)=9 \left(0\right) - 9 \ln{\left(\left(0\right) + 11 \right)} + 7$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 11=11$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 9 \ln{\left(11 \right)} + 0 + 7=7 - 9 \ln{\left(11 \right)}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(0)=7 - 9 \ln{\left(11 \right)}$$ Для наглядного сравнения это приблизительно $-14{,}581057$. Направление изменения функции уже установлено точно по производной. Подставляем $x=-10$ в исходную формулу: $$y(-10)=9 \left(-10\right) - 9 \ln{\left(\left(-10\right) + 11 \right)} + 7$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 11=1$$ Натуральный логарифм единицы равен нулю: степень числа e, дающая 1, равна 0. $$\ln{\left(1 \right)}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-9\right) 0=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \left(-10\right)=-90$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-90 + 0 + 7=-83$$ После выполненных действий остаётся: $$y(-10)=-83$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=-10$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(-10)=-83$$ Ответ: $-83$. Это значение функции y, а не подставленное число x.