Тригонометрические функции — задание №12 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{3 \pi}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $5$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(5)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 14 x)^{\prime}=(-14)\cdot(1)\cdot x^{0}=-14$$ Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$: $$(10 \cos{\left(x \right)})^{\prime}=- 10 \sin{\left(x \right)}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=- 10 \sin{\left(x \right)} - 14$$ Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке. Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы: $$-10\le - 10 \sin{\left(x \right)}\le 10$$ Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части: $$-24\le y^{\prime}\le -4$$ Значит, производная отрицательна на всём отрезке. Функция убывает. Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции. У убывающей функции самое маленькое значение на данном отрезке достигается в правом конце: $$x=0$$ Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. $$y(0)=- 14 \left(0\right) + 10 \cos{\left(\left(0\right) \right)} + 5$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-14\right) 0=0$$ Используем значение тригонометрической функции для указанного угла. $$\cos{\left(0 \right)}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \cdot 1=10$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 5 + 10=15$$ Вычисленное значение: $$y(0)=15$$ Ответ: $15$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое большое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{5 \pi}{6}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-12$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-12)^{\prime}=0$$ Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$: $$(10 \sin{\left(x \right)})^{\prime}=10 \cos{\left(x \right)}$$ Производная x равна 1, поэтому коэффициент при x остаётся: $$(- \frac{42 x}{\pi})^{\prime}=- \frac{42}{\pi}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=10 \cos{\left(x \right)} - \frac{42}{\pi}$$ Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке. Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы: $$-10\le 10 \cos{\left(x \right)}\le 10$$ Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части: $$- \frac{42}{\pi} - 10\le y^{\prime}\le 10 - \frac{42}{\pi}$$ Чтобы убедиться в знаке без округления, используем известную оценку $\pi<22/7$: $$\frac{42}{\pi}>\frac{42}{22/7}=\frac{147}{11}$$ Полученная граница $\frac{147}{11}$ больше $10$. Поэтому постоянное слагаемое по модулю сильнее тригонометрического. Значит, производная отрицательна на всём отрезке. Функция убывает. Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции. У убывающей функции самое большое значение на данном отрезке достигается в левом конце: $$x=- \frac{5 \pi}{6}$$ Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. $$y(- \frac{5 \pi}{6})=- \frac{42 \left(- \frac{5 \pi}{6}\right)}{\pi} + 10 \sin{\left(\left(- \frac{5 \pi}{6}\right) \right)} - 12$$ Используем значение тригонометрической функции для указанного угла. $$\sin{\left(- \frac{5 \pi}{6} \right)}=- \frac{1}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \left(- \frac{1}{2}\right)=-5$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- \frac{42 \left(- \frac{5 \pi}{6}\right)}{\pi}=35$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-12 - 5 + 35=18$$ Вычисленное значение: $$y(- \frac{5 \pi}{6})=18$$ Ответ: $18$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$0\le x\le \frac{3 \pi}{2}$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $9$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(9)^{\prime}=0$$ Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$: $$(10 \cos{\left(x \right)})^{\prime}=- 10 \sin{\left(x \right)}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(14 x)^{\prime}=(14)\cdot(1)\cdot x^{0}=14$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=14 - 10 \sin{\left(x \right)}$$ Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке. Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы: $$-10\le - 10 \sin{\left(x \right)}\le 10$$ Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части: $$4\le y^{\prime}\le 24$$ Значит, производная положительна на всём отрезке. Функция возрастает. Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции. У возрастающей функции самое маленькое значение на данном отрезке достигается в левом конце: $$x=0$$ Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. $$y(0)=14 \left(0\right) + 10 \cos{\left(\left(0\right) \right)} + 9$$ Используем значение тригонометрической функции для указанного угла. $$\cos{\left(0 \right)}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \cdot 1=10$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$14 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 9 + 10=19$$ Вычисленное значение: $$y(0)=19$$ Ответ: $19$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое большое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{5 \pi}{6}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $7$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(7)^{\prime}=0$$ Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$: $$(10 \sin{\left(x \right)})^{\prime}=10 \cos{\left(x \right)}$$ Производная x равна 1, поэтому коэффициент при x остаётся: $$(- \frac{36 x}{\pi})^{\prime}=- \frac{36}{\pi}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=10 \cos{\left(x \right)} - \frac{36}{\pi}$$ Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке. Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы: $$-10\le 10 \cos{\left(x \right)}\le 10$$ Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части: $$- \frac{36}{\pi} - 10\le y^{\prime}\le 10 - \frac{36}{\pi}$$ Чтобы убедиться в знаке без округления, используем известную оценку $\pi<22/7$: $$\frac{36}{\pi}>\frac{36}{22/7}=\frac{126}{11}$$ Полученная граница $\frac{126}{11}$ больше $10$. Поэтому постоянное слагаемое по модулю сильнее тригонометрического. Значит, производная отрицательна на всём отрезке. Функция убывает. Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции. У убывающей функции самое большое значение на данном отрезке достигается в левом конце: $$x=- \frac{5 \pi}{6}$$ Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. $$y(- \frac{5 \pi}{6})=- \frac{36 \left(- \frac{5 \pi}{6}\right)}{\pi} + 10 \sin{\left(\left(- \frac{5 \pi}{6}\right) \right)} + 7$$ Используем значение тригонометрической функции для указанного угла. $$\sin{\left(- \frac{5 \pi}{6} \right)}=- \frac{1}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \left(- \frac{1}{2}\right)=-5$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- \frac{36 \left(- \frac{5 \pi}{6}\right)}{\pi}=30$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-5 + 7 + 30=32$$ Вычисленное значение: $$y(- \frac{5 \pi}{6})=32$$ Ответ: $32$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{3 \pi}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $5$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(5)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 5 x)^{\prime}=(-5)\cdot(1)\cdot x^{0}=-5$$ Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$: $$(3 \cos{\left(x \right)})^{\prime}=- 3 \sin{\left(x \right)}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=- 3 \sin{\left(x \right)} - 5$$ Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке. Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы: $$-3\le - 3 \sin{\left(x \right)}\le 3$$ Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части: $$-8\le y^{\prime}\le -2$$ Значит, производная отрицательна на всём отрезке. Функция убывает. Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции. У убывающей функции самое маленькое значение на данном отрезке достигается в правом конце: $$x=0$$ Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. $$y(0)=- 5 \left(0\right) + 3 \cos{\left(\left(0\right) \right)} + 5$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) 0=0$$ Используем значение тригонометрической функции для указанного угла. $$\cos{\left(0 \right)}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 1=3$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 3 + 5=8$$ Вычисленное значение: $$y(0)=8$$ Ответ: $8$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{2 \pi}{3}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-6$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-6)^{\prime}=0$$ Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$: $$(10 \cos{\left(x \right)})^{\prime}=- 10 \sin{\left(x \right)}$$ Производная x равна 1, поэтому коэффициент при x остаётся: $$(\frac{36 x}{\pi})^{\prime}=\frac{36}{\pi}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=- 10 \sin{\left(x \right)} + \frac{36}{\pi}$$ Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке. Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы: $$-10\le - 10 \sin{\left(x \right)}\le 10$$ Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части: $$-10 + \frac{36}{\pi}\le y^{\prime}\le 10 + \frac{36}{\pi}$$ Чтобы убедиться в знаке без округления, используем известную оценку $\pi<22/7$: $$\frac{36}{\pi}>\frac{36}{22/7}=\frac{126}{11}$$ Полученная граница $\frac{126}{11}$ больше $10$. Поэтому постоянное слагаемое по модулю сильнее тригонометрического. Значит, производная положительна на всём отрезке. Функция возрастает. Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции. У возрастающей функции самое маленькое значение на данном отрезке достигается в левом конце: $$x=- \frac{2 \pi}{3}$$ Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. $$y(- \frac{2 \pi}{3})=\frac{36 \left(- \frac{2 \pi}{3}\right)}{\pi} + 10 \cos{\left(\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) \right)} - 6$$ Используем значение тригонометрической функции для указанного угла. $$\cos{\left(- \frac{2 \pi}{3} \right)}=- \frac{1}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \left(- \frac{1}{2}\right)=-5$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\frac{36 \left(- \frac{2 \pi}{3}\right)}{\pi}=-24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-24 - 6 - 5=-35$$ Вычисленное значение: $$y(- \frac{2 \pi}{3})=-35$$ Ответ: $-35$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{2 \pi}{3}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-4)^{\prime}=0$$ Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$: $$(12 \cos{\left(x \right)})^{\prime}=- 12 \sin{\left(x \right)}$$ Производная x равна 1, поэтому коэффициент при x остаётся: $$(\frac{45 x}{\pi})^{\prime}=\frac{45}{\pi}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=- 12 \sin{\left(x \right)} + \frac{45}{\pi}$$ Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке. Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы: $$-12\le - 12 \sin{\left(x \right)}\le 12$$ Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части: $$-12 + \frac{45}{\pi}\le y^{\prime}\le 12 + \frac{45}{\pi}$$ Чтобы убедиться в знаке без округления, используем известную оценку $\pi<22/7$: $$\frac{45}{\pi}>\frac{45}{22/7}=\frac{315}{22}$$ Полученная граница $\frac{315}{22}$ больше $12$. Поэтому постоянное слагаемое по модулю сильнее тригонометрического. Значит, производная положительна на всём отрезке. Функция возрастает. Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции. У возрастающей функции самое маленькое значение на данном отрезке достигается в левом конце: $$x=- \frac{2 \pi}{3}$$ Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. $$y(- \frac{2 \pi}{3})=\frac{45 \left(- \frac{2 \pi}{3}\right)}{\pi} + 12 \cos{\left(\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) \right)} - 4$$ Используем значение тригонометрической функции для указанного угла. $$\cos{\left(- \frac{2 \pi}{3} \right)}=- \frac{1}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \left(- \frac{1}{2}\right)=-6$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\frac{45 \left(- \frac{2 \pi}{3}\right)}{\pi}=-30$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-30 - 6 - 4=-40$$ Вычисленное значение: $$y(- \frac{2 \pi}{3})=-40$$ Ответ: $-40$. Это значение функции y, а не подставленное число x.