Найдите наименьшее значение функции
$y=3\cos x-5x+5$
на отрезке $[- \frac{3\pi }{2}; 0]$.
Ответ: $8$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке.
Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет.
$$- \frac{3 \pi}{2}\le x\le 0$$
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $5$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(5)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(- 5 x)^{\prime}=(-5)\cdot(1)\cdot x^{0}=-5$$
Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$:
$$(3 \cos{\left(x \right)})^{\prime}=- 3 \sin{\left(x \right)}$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=- 3 \sin{\left(x \right)} - 5$$
Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке.
Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы:
$$-3\le - 3 \sin{\left(x \right)}\le 3$$
Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части:
$$-8\le y^{\prime}\le -2$$
Значит, производная отрицательна на всём отрезке. Функция убывает.
Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции.
У убывающей функции самое маленькое значение на данном отрезке достигается в правом конце:
$$x=0$$
Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x.
$$y(0)=- 5 \left(0\right) + 3 \cos{\left(\left(0\right) \right)} + 5$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-5\right) 0=0$$
Используем значение тригонометрической функции для указанного угла.
$$\cos{\left(0 \right)}=1$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 1=3$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$0 + 3 + 5=8$$
Вычисленное значение:
$$y(0)=8$$
Ответ: $8$. Это значение функции y, а не подставленное число x.