Найдите наименьшее значение функции
$y=12\cos x+\frac{45x}{\pi }-4$
на отрезке $[- \frac{2\pi }{3}; 0]$.
Ответ: $-40$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке.
Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет.
$$- \frac{2 \pi}{3}\le x\le 0$$
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $-4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(-4)^{\prime}=0$$
Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$:
$$(12 \cos{\left(x \right)})^{\prime}=- 12 \sin{\left(x \right)}$$
Производная x равна 1, поэтому коэффициент при x остаётся:
$$(\frac{45 x}{\pi})^{\prime}=\frac{45}{\pi}$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=- 12 \sin{\left(x \right)} + \frac{45}{\pi}$$
Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке.
Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы:
$$-12\le - 12 \sin{\left(x \right)}\le 12$$
Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части:
$$-12 + \frac{45}{\pi}\le y^{\prime}\le 12 + \frac{45}{\pi}$$
Чтобы убедиться в знаке без округления, используем известную оценку $\pi<22/7$:
$$\frac{45}{\pi}>\frac{45}{22/7}=\frac{315}{22}$$
Полученная граница $\frac{315}{22}$ больше $12$. Поэтому постоянное слагаемое по модулю сильнее тригонометрического.
Значит, производная положительна на всём отрезке. Функция возрастает.
Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции.
У возрастающей функции самое маленькое значение на данном отрезке достигается в левом конце:
$$x=- \frac{2 \pi}{3}$$
Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x.
$$y(- \frac{2 \pi}{3})=\frac{45 \left(- \frac{2 \pi}{3}\right)}{\pi} + 12 \cos{\left(\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) \right)} - 4$$
Используем значение тригонометрической функции для указанного угла.
$$\cos{\left(- \frac{2 \pi}{3} \right)}=- \frac{1}{2}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$12 \left(- \frac{1}{2}\right)=-6$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\frac{45 \left(- \frac{2 \pi}{3}\right)}{\pi}=-30$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-30 - 6 - 4=-40$$
Вычисленное значение:
$$y(- \frac{2 \pi}{3})=-40$$
Ответ: $-40$. Это значение функции y, а не подставленное число x.