Задание №15 ЕГЭ по математике: Неравенства

Нужно решить неравенство и не потерять область определения. Каждый аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$\frac1x+2=\frac{2x+1}x>0,\qquad x+5>0,\qquad\frac{x+4}{x^2}>0.$$ Первая дробь положительна при одинаковых знаках числителя и знаменателя: $x<-1/2$ или $x>0$. Второе условие: $x>-5$. В третьей дроби $x^2>0$ при $x\ne0$, поэтому требуется $x>-4$, $x\ne0$. Пересечение: $$x\in(-4;-1/2)\cup(0;+\infty).$$ На найденной области все аргументы положительны. Используем свойства логарифмов: сумма — логарифм произведения, разность — логарифм частного. Основание 3 больше 1, поэтому логарифм возрастает: при сравнении аргументов знак сохраняется. После перехода к аргументам переносим все слагаемые влево. $$\log_3\frac{(2x+1)/x}{x+5}\ge\log_3\frac{x+4}{x^2}\ \Longleftrightarrow\frac{2x+1}{x(x+5)}-\frac{x+4}{x^2}\ge0.$$ Общий знаменатель $x^2(x+5)$; числитель: $$N=x(2x+1)-(x+4)(x+5)$$ $$N=2x^2+x-(x^2+9x+20)=x^2-8x-20.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{2 x + 1}{x \left(x + 5\right)} - \frac{x + 4}{x^{2}}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=x^{2} - 8 x - 20,\qquad D=x^{3} + 5 x^{2}.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(-8)^2-4\cdot(1)\cdot(-20)=144.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{144}}{2\cdot(1)}.$$ $$x\in\left\{-2,10\right\}.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $-5$: $$P(-5)=1\cdot\left(-5\right)^{3}+5\cdot\left(-5\right)^{2}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $x + 5$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{x^{3}}{x}=x^{2},$$ $$x^{2}\left(x + 5\right)=x^{3} + 5 x^{2},$$ $$\left(x^{3} + 5 x^{2}\right)-\left(x^{3} + 5 x^{2}\right)=0.$$ $$x^{3} + 5 x^{2}=\left(x + 5\right)\left(x^{2}\right).$$ Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(0)^2-4\cdot(1)\cdot(0)=0.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(0)\pm\sqrt{0}}{2\cdot(1)}.$$ $$x\in\left\{0\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(x - 10\right) \left(x + 2\right)}{x^{2} \left(x + 5\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<x<-5:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$-5<x<-2:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-2<x<0:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$0<x<10:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$10<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$x\in \left(-4, -2\right] \cup \left[10, \infty\right).$$ Ответ: $$x\in \left(-4, -2\right] \cup \left[10, \infty\right).$$

Нужно решить произведение с квадратом логарифма. Сначала ОДЗ: из $x+3>0$ и $x+2>0$ получаем $x>-2$. Аргумент $x^2+6x+9=(x+3)^2$ при этом тоже положителен. Введём: $$t=\log_4(x+3).$$ Основание $0{,}25=1/4=4^{-1}$ позволяет сменить основание: $$\log_{0{,}25}(x+3)=\frac{\log_4(x+3)}{\log_44^{-1}}=\frac t{-1}=-t.$$ Значит, квадрат первого логарифма равен $(-t)^2=t^2$. Второй логарифм: $$\log_4((x+3)^2)=2\log_4(x+3)=2t.$$ Поэтому выражение в скобках: $$t^2-2t+1=(t-1)^2.$$ Неравенство стало: $$(t-1)^2\log_4(x+2)\le0.$$ Первый множитель всегда неотрицателен. Поэтому если второй неположителен, всё произведение неположительно; если второй положителен, равенство возможно только при нулевом квадрате. Так как основание 4 больше 1, неположительный логарифм соответствует аргументу между 0 и 1: $$\log_4(x+2)\le0\ \Longleftrightarrow 0<x+2\le1\ \Longleftrightarrow -2<x\le-1.$$ Все эти $x$ подходят. При $x>-1$ второй множитель положителен, поэтому: $$(t-1)^2=0\ \Longleftrightarrow t=1\ \Longleftrightarrow x+3=4^1=4\ \Longleftrightarrow x=1.$$ Точка1 допустима, поскольку больше $-2$. Граница $-2$ запрещена нулевым аргументом $x+2$, а $-1$ разрешена: логарифм там нулевой. Ответ: $$x\in(-2;-1]\cup\{1\}.$$

Нужно решить неравенство с квадратом одного и того же логарифма. Сначала его аргумент должен быть строго положителен: $$25 - x^{2}>0,\qquad x\in\left(-5, 5\right).$$ Введём новую переменную: $$t=\log_{2}(25 - x^{2}).$$ Тогда неравенство становится квадратным: $$t^2-7t+12\ge0.$$ Вычислим дискриминант и корни, чтобы получить границы знаков: $$D=(-7)^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1,$$ $$t_{1,2}=\frac{7\pm1}2,\qquad t_1=3,\quad t_2=4.$$ Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ неотрицателен вне корней и равен нулю на корнях: $$t\le3\quad\text{или}\quad t\ge4.$$ Возвращаемся к аргументу логарифма. Основание 2 больше 1, поэтому знак при сравнении аргументов сохраняется. Но положительность аргумента обязательно оставляем: $$0<25 - x^{2}\le2^{3}=8,$$ $$25 - x^{2}\ge2^{4}=16.$$ Из положительности аргумента $x^2<25$. Из верхней границы первого случая: $$25-x^2\le8\ \Longrightarrow\ -x^2\le-17\ \Longrightarrow\ x^2\ge17.$$ При умножении на $-1$ знак меняется. Второй случай: $$25-x^2\ge16\ \Longrightarrow\ x^2\le9.$$ Для неотрицательных чисел сравнение квадратов равносильно сравнению модулей. Например, $x^2\ge q$ при $q>0$ означает $x\le-\sqrt q$ или $x\ge\sqrt q$. А $x^2\le q$ означает $-\sqrt q\le x\le\sqrt q$. Применяя это к обоим случаям и сохраняя строгие границы ОДЗ, получаем ответ: $$x\in\left(-5, - \sqrt{17}\right] \cup \left[-3, 3\right] \cup \left[\sqrt{17}, 5\right).$$ Корни квадратного неравенства по $t$ включены, поскольку исходный знак нестрогий; нулевой аргумент логарифма запрещён независимо от этого.

Сначала определим допустимые $x$. Первый аргумент требует $3x+1>0$, то есть $x>-1/3$. Второй $1+1/(72x^2)$ положителен при любом $x\ne0$. Для третьего: $$1+\frac1{24x}=\frac{24x+1}{24x}>0.$$ Числитель и знаменатель одного знака при $x<-1/24$ или $x>0$. Поэтому ОДЗ: $$x\in(-1/3;-1/24)\cup(0;+\infty).$$ На найденной области все аргументы положительны. Используем свойства логарифмов: сумма — логарифм произведения, разность — логарифм частного. Основание 5 больше 1, поэтому логарифм возрастает: при сравнении аргументов знак сохраняется. После перехода к аргументам переносим все слагаемые влево. $$(3x+1)\left(1+\frac1{72x^2}\right)-\left(1+\frac1{24x}\right)\ge0.$$ Раскрываем произведение и сокращаем $1-1$: $$3x+\frac{3x+1}{72x^2}-\frac1{24x}.$$ Приводим последние две дроби к знаменателю $72x^2$: $$\frac{3x+1}{72x^2}-\frac{3x}{72x^2}=\frac1{72x^2}.$$ Оставшуюся целую часть тоже приводим к этому знаменателю: $$3x+\frac1{72x^2}=\frac{216x^3+1}{72x^2}.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\left(1 + \frac{1}{72 x^{2}}\right) \left(3 x + 1\right) - 1 - \frac{1}{24 x}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=216 x^{3} + 1,\qquad D=72 x^{2}.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $- \frac{1}{6}$: $$P(- \frac{1}{6})=216\cdot\left(- \frac{1}{6}\right)^{3}+1\cdot\left(- \frac{1}{6}\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $x + \frac{1}{6}$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{216 x^{3}}{x}=216 x^{2},$$ $$216 x^{2}\left(x + \frac{1}{6}\right)=216 x^{3} + 36 x^{2},$$ $$\left(216 x^{3} + 1\right)-\left(216 x^{3} + 36 x^{2}\right)=1 - 36 x^{2}.$$ $$\frac{- 36 x^{2}}{x}=- 36 x,$$ $$- 36 x\left(x + \frac{1}{6}\right)=- 36 x^{2} - 6 x,$$ $$\left(1 - 36 x^{2}\right)-\left(- 36 x^{2} - 6 x\right)=6 x + 1.$$ $$\frac{6 x}{x}=6,$$ $$6\left(x + \frac{1}{6}\right)=6 x + 1,$$ $$\left(6 x + 1\right)-\left(6 x + 1\right)=0.$$ $$216 x^{3} + 1=\left(x + \frac{1}{6}\right)\left(216 x^{2} - 36 x + 6\right).$$ Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(-36)^2-4\cdot(216)\cdot(6)=-3888.$$ Дискриминант отрицателен, действительных нулей нет. Знак такого трёхчлена везде совпадает со знаком старшего коэффициента $216$. Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(0)^2-4\cdot(72)\cdot(0)=0.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(0)\pm\sqrt{0}}{2\cdot(72)}.$$ $$x\in\left\{0\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(6 x + 1\right) \left(36 x^{2} - 6 x + 1\right)}{72 x^{2}}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<x<- \frac{1}{6}:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$- \frac{1}{6}<x<0:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$0<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$x\in \left[- \frac{1}{6}, - \frac{1}{24}\right) \cup \left(0, \infty\right).$$ Ответ: $$x\in \left[- \frac{1}{6}, - \frac{1}{24}\right) \cup \left(0, \infty\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. После замены знаменатели и ограничения: $$t-81\ne0,\quad t-9\ne0.$$ Переносим правую дробь влево и приводим к общему знаменателю. Первую умножаем сверху и снизу на второй знаменатель, вторую — на первый: $$\frac{13}{t-(81)}-\frac1{t-(9)}=\frac{13(t-(9))-(t-(81))}{(t-(81))(t-(9)))}.$$ В числителе раскрываем скобки: $$13t-117-t+81=12t+-36.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$- \frac{1}{t - 9} + \frac{13}{t - 81}\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=12 t - 36,\qquad D=t^{2} - 90 t + 729.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-90,\qquad C=729.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-90\right)^2=8100,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(729\right)=2916.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=8100-\left(2916\right)=5184.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{5184}=72.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=90$, $2A=2$: $$t_1=\frac{90+72}{2}=\frac{162}{2}=81,$$ $$t_2=\frac{90-72}{2}=\frac{18}{2}=9.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{9,81\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{12 \left(t - 3\right)}{\left(t - 81\right) \left(t - 9\right)}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<3:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$3<t<9:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$9<t<81:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$81<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 3\right] \cup \left(9, 81\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=3\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=9\ \Longrightarrow\ x=2.$$ $$t=81\ \Longrightarrow\ x=4.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 1\right] \cup \left(2, 4\right).$$

Нужно найти все допустимые $x$, при которых неравенство верно. Повторяющиеся логарифмы удобно заменить одной переменной. Для логарифма требуется $x>0$. Введём: $$t=\log_{5}x,\qquad x=5^t.$$ По свойствам логарифмов произведения и степени: $$\log_{5}(25x)=\log_{5}25+\log_{5}x=2+t,$$ $$\log_{5}(x^{4})=4t.$$ Все исходные знаменатели требуют: $$t-2\ne0,\quad t+2\ne0,\qquad t^2-4=(t-2)(t+2).$$ После подстановки и переноса правой части влево: $$\frac{t+2}{t-2}+\frac{t-2}{t+2}-\frac{6 - 4 t}{t^2-4}\ge0.$$ Общий знаменатель — произведение $t-2$ и $t+2$. Поэтому каждый из первых числителей умножается ещё раз на себя: $$N=(t+2)^2+(t-2)^2-(6 - 4 t),$$ $$N=(t^2+4t+4)+(t^2-4t+4)-(6 - 4 t),$$ $$N=2 t^{2} + 4 t + 2.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$- \frac{6 - 4 t}{t^{2} - 4} + \frac{t - 2}{t + 2} + \frac{t + 2}{t - 2}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=2 t^{2} + 4 t + 2,\qquad D=t^{2} - 4.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=2,\qquad B=4,\qquad C=2.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(4\right)^2=16,$$ $$4AC=4\cdot\left(2\right)\cdot\left(2\right)=16.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=16-\left(16\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=-4$, $2A=4$: $$t_1=\frac{-4+0}{4}=\frac{-4}{4}=-1,$$ $$t_2=\frac{-4-0}{4}=\frac{-4}{4}=-1.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-1\right\}.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-4.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(0\right)^2=0,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-4\right)=-16.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=0-\left(-16\right)=16.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{16}=4.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=0$, $2A=2$: $$t_1=\frac{0+4}{2}=\frac{4}{2}=2,$$ $$t_2=\frac{0-4}{2}=\frac{-4}{2}=-2.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-2,2\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{2 \left(t + 1\right)^{2}}{\left(t - 2\right) \left(t + 2\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-2:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-2<t<-1:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$-1<t<2:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$2<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(-\infty, -2\right) \cup \left\{-1\right\} \cup \left(2, \infty\right).$$ Возвращаемся к $x$. По определению логарифма: $$t=\log_{5}(x)\ \Longleftrightarrow\ x=5^t.$$ Основание больше 1, поэтому функция $5^t$ возрастает: порядок концов каждого интервала сохраняется. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=-2\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{25}.$$ $$t=-1\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{5}.$$ $$t=2\ \Longrightarrow\ x=25.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(0, \frac{1}{25}\right) \cup \left\{\frac{1}{5}\right\} \cup \left(25, \infty\right).$$

Нужно решить неравенство с переменным основанием логарифма. Сначала ОДЗ. Аргумент $x+5$ положителен, основание $(x+5)^2$ положительно и не равно 1. При $x+5>0$ это означает: $$x>-5,\qquad x+5\ne1\ \Longrightarrow x\ne-4.$$ Введём $t=\log_2(x+5)\ne0$. По формуле смены основания: $$\log_{16}(x+5)=\frac{\log_2(x+5)}{\log_216}=\frac t4,$$ $$\log_{(x+5)^2}2=\frac{\log_22}{\log_2((x+5)^2)}=\frac1{2t}.$$ Вычитаем $3/4$ из обеих частей и приводим к знаменателю $4t$: $$\frac t4+\frac1{2t}-\frac34=\frac{t^2+2-3t}{4t}\ge0.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{t}{4} - \frac{3}{4} + \frac{1}{2 t}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} - 3 t + 2,\qquad D=4 t.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-3,\qquad C=2.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-3\right)^2=9,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(2\right)=8.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=9-\left(8\right)=1.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{1}=1.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=3$, $2A=2$: $$t_1=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2,$$ $$t_2=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{1,2\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 2\right) \left(t - 1\right)}{4 t}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<0:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$0<t<1:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$1<t<2:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$2<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 1\right] \cup \left[2, \infty\right).$$ Возвращаемся к $x$. По определению логарифма: $$t=\log_{2}(x+5)\ \Longleftrightarrow\ x=2^t-5.$$ Основание больше 1, поэтому функция $2^t$ возрастает: порядок концов каждого интервала сохраняется. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=0\ \Longrightarrow\ x=-4.$$ $$t=1\ \Longrightarrow\ x=-3.$$ $$t=2\ \Longrightarrow\ x=-1.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-4, -3\right] \cup \left[-1, \infty\right).$$

Нужно решить неравенство с квадратом одного и того же логарифма. Сначала его аргумент должен быть строго положителен: $$25 - x^{2}>0,\qquad x\in\left(-5, 5\right).$$ Введём новую переменную: $$t=\log_{3}(25 - x^{2}).$$ Тогда неравенство становится квадратным: $$t^2-3t+2\ge0.$$ Вычислим дискриминант и корни, чтобы получить границы знаков: $$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1,$$ $$t_{1,2}=\frac{3\pm1}2,\qquad t_1=1,\quad t_2=2.$$ Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ неотрицателен вне корней и равен нулю на корнях: $$t\le1\quad\text{или}\quad t\ge2.$$ Возвращаемся к аргументу логарифма. Основание 3 больше 1, поэтому знак при сравнении аргументов сохраняется. Но положительность аргумента обязательно оставляем: $$0<25 - x^{2}\le3^{1}=3,$$ $$25 - x^{2}\ge3^{2}=9.$$ Из положительности аргумента $x^2<25$. Из верхней границы первого случая: $$25-x^2\le3\ \Longrightarrow\ -x^2\le-22\ \Longrightarrow\ x^2\ge22.$$ При умножении на $-1$ знак меняется. Второй случай: $$25-x^2\ge9\ \Longrightarrow\ x^2\le16.$$ Для неотрицательных чисел сравнение квадратов равносильно сравнению модулей. Например, $x^2\ge q$ при $q>0$ означает $x\le-\sqrt q$ или $x\ge\sqrt q$. А $x^2\le q$ означает $-\sqrt q\le x\le\sqrt q$. Применяя это к обоим случаям и сохраняя строгие границы ОДЗ, получаем ответ: $$x\in\left(-5, - \sqrt{22}\right] \cup \left[-4, 4\right] \cup \left[\sqrt{22}, 5\right).$$ Корни квадратного неравенства по $t$ включены, поскольку исходный знак нестрогий; нулевой аргумент логарифма запрещён независимо от этого.

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=11^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Применим правило степени степени: $$121^x=(11^2)^x=(11^x)^2=t^2.$$ Знаменатель раскладываем через разбиение среднего слагаемого: $$t^2-16t+60=t^2-6t-10t+60=t(t-6)-10(t-6)=(t-6)(t-10).$$ Запрещены $t=6,10$. Переносим правую дробь влево: $$t-6-\frac{24t-244}{(t-6)(t-10)}-\frac1{t-10}\le0.$$ Общий числитель: $$N=(t-6)^2(t-10)-(24t-244)-(t-6).$$ Сначала раскрываем квадрат и умножаем: $$(t^2-12t+36)(t-10)=t^3-22t^2+156t-360.$$ Вычитаем остальные слагаемые: $$N=t^3-22t^2+156t-360-24t+244-t+6=t^3-22t^2+131t-110.$$ После сокращений по-прежнему сохраняем оба первоначальных запрета. Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$t - 6 - \frac{1}{t - 10} - \frac{24 t - 244}{\left(t - 10\right) \left(t - 6\right)}\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} - 12 t + 11,\qquad D=t - 6.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-12,\qquad C=11.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-12\right)^2=144,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(11\right)=44.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=144-\left(44\right)=100.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{100}=10.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=12$, $2A=2$: $$t_1=\frac{12+10}{2}=\frac{22}{2}=11,$$ $$t_2=\frac{12-10}{2}=\frac{2}{2}=1.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{1,11\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 11\right) \left(t - 1\right)}{t - 6}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<1:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$1<t<6:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$6<t<11:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$11<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 1\right] \cup \left(6, 10\right) \cup \left(10, 11\right].$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=11^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{11}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=1\ \Longrightarrow\ x=0.$$ $$t=6\ \Longrightarrow\ x=\frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}.$$ $$t=10\ \Longrightarrow\ x=\frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}.$$ $$t=11\ \Longrightarrow\ x=1.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 0\right] \cup \left(\frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}, \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}\right) \cup \left(\frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}, 1\right].$$

Первый аргумент $2x^2+1$ положителен всегда. Второй: $$1+\frac1{32x}=\frac{32x+1}{32x}>0\ \Longleftrightarrow\ x<-1/32\ \text{или}\ x>0.$$ Третий аргумент требует $x/16+1>0$, то есть $x>-16$. Значит: $$x\in(-16;-1/32)\cup(0;+\infty).$$ На найденной области все аргументы положительны. Используем свойства логарифмов: сумма — логарифм произведения, разность — логарифм частного. Основание 11 больше 1, поэтому логарифм возрастает: при сравнении аргументов знак сохраняется. После перехода к аргументам переносим все слагаемые влево. $$(2x^2+1)\left(1+\frac1{32x}\right)-\left(1+\frac x{16}\right)\ge0.$$ Раскрываем и сокращаем единицы: $$2x^2+\frac{2x^2+1}{32x}-\frac x{16}.$$ Последнее слагаемое приводим к тому же знаменателю: $$\frac{2x^2+1}{32x}-\frac{2x^2}{32x}=\frac1{32x}.$$ Получаем: $$2x^2+\frac1{32x}=\frac{64x^3+1}{32x}.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$- \frac{x}{16} + \left(1 + \frac{1}{32 x}\right) \left(2 x^{2} + 1\right) - 1\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=64 x^{3} + 1,\qquad D=32 x.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $- \frac{1}{4}$: $$P(- \frac{1}{4})=64\cdot\left(- \frac{1}{4}\right)^{3}+1\cdot\left(- \frac{1}{4}\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $x + \frac{1}{4}$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{64 x^{3}}{x}=64 x^{2},$$ $$64 x^{2}\left(x + \frac{1}{4}\right)=64 x^{3} + 16 x^{2},$$ $$\left(64 x^{3} + 1\right)-\left(64 x^{3} + 16 x^{2}\right)=1 - 16 x^{2}.$$ $$\frac{- 16 x^{2}}{x}=- 16 x,$$ $$- 16 x\left(x + \frac{1}{4}\right)=- 16 x^{2} - 4 x,$$ $$\left(1 - 16 x^{2}\right)-\left(- 16 x^{2} - 4 x\right)=4 x + 1.$$ $$\frac{4 x}{x}=4,$$ $$4\left(x + \frac{1}{4}\right)=4 x + 1,$$ $$\left(4 x + 1\right)-\left(4 x + 1\right)=0.$$ $$64 x^{3} + 1=\left(x + \frac{1}{4}\right)\left(64 x^{2} - 16 x + 4\right).$$ Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(-16)^2-4\cdot(64)\cdot(4)=-768.$$ Дискриминант отрицателен, действительных нулей нет. Знак такого трёхчлена везде совпадает со знаком старшего коэффициента $64$. Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(4 x + 1\right) \left(16 x^{2} - 4 x + 1\right)}{32 x}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<x<- \frac{1}{4}:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$- \frac{1}{4}<x<0:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$0<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$x\in \left(-16, - \frac{1}{4}\right] \cup \left(0, \infty\right).$$ Ответ: $$x\in \left(-16, - \frac{1}{4}\right] \cup \left(0, \infty\right).$$

Нужно найти все допустимые $x$, при которых неравенство верно. Повторяющиеся логарифмы удобно заменить одной переменной. Для логарифма требуется $x>0$. Введём: $$t=\log_{3}x,\qquad x=3^t.$$ Применяем свойства логарифма произведения и степени: $$\log_{3}(27x^{6})=\log_{3}27+6\log_{3}x=3+6t.$$ Второй знаменатель после подстановки: $$t^2-(3+6t)+12=t^2-6t+9=(t-3)^2.$$ Оба знаменателя требуют $t\ne3$. Неравенство принимает вид: $$1+\frac{6}{t-3}+\frac{5}{(t-3)^2}\ge0.$$ Умножаем целую часть и первую дробь на недостающие множители общего знаменателя. Числитель: $$N=(t-3)^2+6(t-3)+5,$$ $$N=t^2-6t+9+6t-18+5=t^{2} - 4.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{\left(t - 3\right)^{2}}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} - 4,\qquad D=t^{2} - 6 t + 9.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-4.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(0\right)^2=0,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-4\right)=-16.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=0-\left(-16\right)=16.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{16}=4.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=0$, $2A=2$: $$t_1=\frac{0+4}{2}=\frac{4}{2}=2,$$ $$t_2=\frac{0-4}{2}=\frac{-4}{2}=-2.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-2,2\right\}.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-6,\qquad C=9.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-6\right)^2=36,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(9\right)=36.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=36-\left(36\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=6$, $2A=2$: $$t_1=\frac{6+0}{2}=\frac{6}{2}=3,$$ $$t_2=\frac{6-0}{2}=\frac{6}{2}=3.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{3\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 2\right) \left(t + 2\right)}{\left(t - 3\right)^{2}}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-2:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-2<t<2:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$2<t<3:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$3<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, 3\right) \cup \left(3, \infty\right).$$ Возвращаемся к $x$. По определению логарифма: $$t=\log_{3}(x)\ \Longleftrightarrow\ x=3^t.$$ Основание больше 1, поэтому функция $3^t$ возрастает: порядок концов каждого интервала сохраняется. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=-2\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{9}.$$ $$t=2\ \Longrightarrow\ x=9.$$ $$t=3\ \Longrightarrow\ x=27.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(0, \frac{1}{9}\right] \cup \left[9, 27\right) \cup \left(27, \infty\right).$$

Нужно решить логарифмическое неравенство. Первые два аргумента требуют: $$x\sqrt5>0\ \Longrightarrow x>0,\qquad\frac{x}{1-x}>0.$$ При $x>0$ вторая дробь положительна только при $1-x>0$, то есть $x<1$. Пока получаем $0<x<1$. Проверим последний аргумент $5x^2+1/x-2$. Если $0<x\le1/2$, то $1/x\ge2$, поэтому он не меньше $5x^2>0$. Если $1/2\le x<1$, то $5x^2\ge5/4$, а $1/x>1$, поэтому аргумент больше $5/4+1-2=1/4>0$. Итак, ОДЗ ровно $(0;1)$. Вынесение множителя перед логарифмом в степень и объединение разности дают: $$2\log_2(x\sqrt5)=\log_2((x\sqrt5)^2)=\log_2(5x^2),$$ $$\log_2(5x^2)-\log_2\frac{x}{1-x}=\log_2\frac{5x^2(1-x)}x=\log_2(5x(1-x)).$$ Основание 2 больше 1: сравниваем аргументы и переносим меньшую левую часть вправо: $$5x(1-x)\le5x^2+1/x-2,$$ $$5x^2+1/x-2-5x+5x^2=10x^2-5x-2+1/x\ge0.$$ Общий числитель при знаменателе $x$: $$N=10x^3-5x^2-2x+1.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$10 x^{2} - 5 x - 2 + \frac{1}{x}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1,\qquad D=x.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $\frac{1}{2}$: $$P(\frac{1}{2})=10\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+-5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $x - \frac{1}{2}$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{10 x^{3}}{x}=10 x^{2},$$ $$10 x^{2}\left(x - \frac{1}{2}\right)=10 x^{3} - 5 x^{2},$$ $$\left(10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1\right)-\left(10 x^{3} - 5 x^{2}\right)=1 - 2 x.$$ $$\frac{- 2 x}{x}=-2,$$ $$-2\left(x - \frac{1}{2}\right)=1 - 2 x,$$ $$\left(1 - 2 x\right)-\left(1 - 2 x\right)=0.$$ $$10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1=\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(10 x^{2} - 2\right).$$ Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(0)^2-4\cdot(10)\cdot(-2)=80.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(0)\pm\sqrt{80}}{2\cdot(10)}.$$ $$x\in\left\{- \frac{\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(2 x - 1\right) \left(5 x^{2} - 1\right)}{x}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<x<- \frac{\sqrt{5}}{5}:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$- \frac{\sqrt{5}}{5}<x<0:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$0<x<\frac{\sqrt{5}}{5}:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$\frac{\sqrt{5}}{5}<x<\frac{1}{2}:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$\frac{1}{2}<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$x\in \left(0, \frac{\sqrt{5}}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right).$$ Ответ: $$x\in \left(0, \frac{\sqrt{5}}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=2^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Переписываем степени подробно: $$8^{x+2/3}=8^x\cdot8^{2/3}=(2^x)^3\cdot(\sqrt[3]8)^2=4t^3,$$ $$4^{x+1/2}=4^x\sqrt4=(2^x)^2\cdot2=2t^2,\qquad2^{x+1}=2t.$$ Квадратный знаменатель: $$2t^2-9t+4=2t^2-t-8t+4=t(2t-1)-4(2t-1)=(2t-1)(t-4).$$ Поэтому запрещены $t=1/2,2,4$. После переноса всех правых слагаемых влево общий знаменатель $(2t-1)(t-4)(t-2)$, а числитель: $$N=(4t^3-18t^2+13t-13)(t-2)-2t(2t-1)(t-4)(t-2)+(2t-1)(t-4)-3(t-4)(t-2).$$ Раскрываем каждое произведение отдельно: $$(4t^3-18t^2+13t-13)(t-2)=4t^4-26t^3+49t^2-39t+26,$$ $$-2t(2t-1)(t-4)(t-2)=-4t^4+26t^3-44t^2+16t,$$ $$(2t-1)(t-4)=2t^2-9t+4,$$ $$-3(t-4)(t-2)=-3t^2+18t-24.$$ Суммируем коэффициенты одинаковых степеней: $$N=(4-4)t^4+(-26+26)t^3+(49-44+2-3)t^2+(-39+16-9+18)t+(26+4-24)$$ $$N=4t^2-14t+6.$$ Сокращение общих множителей в дальнейшем не снимает ни одного исходного запрета. Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$- 2 t - \frac{3}{2 t - 1} + \frac{1}{t - 2} + \frac{4 t^{3} - 18 t^{2} + 13 t - 13}{\left(t - 4\right) \left(2 t - 1\right)}\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=2 t - 6,\qquad D=t^{2} - 6 t + 8.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-6,\qquad C=8.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-6\right)^2=36,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(8\right)=32.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=36-\left(32\right)=4.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{4}=2.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=6$, $2A=2$: $$t_1=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4,$$ $$t_2=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{2,4\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{2 \left(t - 3\right)}{\left(t - 4\right) \left(t - 2\right)}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<2:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$2<t<3:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$3<t<4:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$4<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 2\right) \cup \left[3, 4\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=2^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{2}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=\frac{1}{2}\ \Longrightarrow\ x=-1.$$ $$t=2\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=3\ \Longrightarrow\ x=\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}.$$ $$t=4\ \Longrightarrow\ x=2.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(-1, 1\right) \cup \left[\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, 2\right).$$

Нужно решить неравенство и сохранить положительность каждого аргумента. Сначала разложим квадратный трёхчлен группировкой: $$x^2-2x-15=x^2+3x-5x-15=x(x+3)-5(x+3)=(x-5)(x+3).$$ Поэтому первый аргумент: $$(x-5)(x^2-2x-15)=(x-5)^2(x+3).$$ Квадрат строго положителен при $x\ne5$, и тогда знак произведения определяет $x+3$. Второй аргумент $(x-5)^2$ также требует $x\ne5$. ОДЗ: $$x>-3,\qquad x\ne5.$$ Приведём правый логарифм к основанию 4. По формуле смены основания: $$\log_4U=\frac{\log_2U}{\log_24}=\frac12\log_2U.$$ Поэтому переносим правый логарифм влево и объединяем разность: $$\log_4((x-5)^2(x+3))-\log_4((x-5)^2)+1\ge0,$$ $$\log_4\frac{(x-5)^2(x+3)}{(x-5)^2}\ge-1.$$ На ОДЗ квадрат ненулевой, сокращение допустимо. Запрет $x=5$ при этом остаётся: $$\log_4(x+3)\ge-1.$$ Основание 4 больше 1, поэтому: $$x+3\ge4^{-1}=\frac14\ \Longrightarrow x\ge\frac14-3=\frac{1-12}4=-\frac{11}4.$$ Эта граница больше $-3$, поэтому первое ограничение уже выполнено. Исключаем только 5. В точке $-11/4$ получено равенство и оба аргумента положительны. Ответ: $$x\in[-11/4;5)\cup(5;+\infty).$$

Нужно найти все допустимые $x$, при которых неравенство верно. Повторяющиеся логарифмы удобно заменить одной переменной. Для логарифма требуется $x>0$. Введём: $$t=\log_{2}x,\qquad x=2^t.$$ Применяем свойства логарифма произведения и степени: $$\log_{2}(32x^{10})=\log_{2}32+10\log_{2}x=5+10t.$$ Второй знаменатель после подстановки: $$t^2-(5+10t)+30=t^2-10t+25=(t-5)^2.$$ Оба знаменателя требуют $t\ne5$. Неравенство принимает вид: $$1+\frac{10}{t-5}+\frac{16}{(t-5)^2}\ge0.$$ Умножаем целую часть и первую дробь на недостающие множители общего знаменателя. Числитель: $$N=(t-5)^2+10(t-5)+16,$$ $$N=t^2-10t+25+10t-50+16=t^{2} - 9.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$1 + \frac{10}{t - 5} + \frac{16}{\left(t - 5\right)^{2}}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} - 9,\qquad D=t^{2} - 10 t + 25.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-9.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(0\right)^2=0,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-9\right)=-36.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=0-\left(-36\right)=36.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{36}=6.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=0$, $2A=2$: $$t_1=\frac{0+6}{2}=\frac{6}{2}=3,$$ $$t_2=\frac{0-6}{2}=\frac{-6}{2}=-3.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-3,3\right\}.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-10,\qquad C=25.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-10\right)^2=100,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(25\right)=100.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=100-\left(100\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=10$, $2A=2$: $$t_1=\frac{10+0}{2}=\frac{10}{2}=5,$$ $$t_2=\frac{10-0}{2}=\frac{10}{2}=5.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{5\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 3\right) \left(t + 3\right)}{\left(t - 5\right)^{2}}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-3:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-3<t<3:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$3<t<5:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$5<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, 5\right) \cup \left(5, \infty\right).$$ Возвращаемся к $x$. По определению логарифма: $$t=\log_{2}(x)\ \Longleftrightarrow\ x=2^t.$$ Основание больше 1, поэтому функция $2^t$ возрастает: порядок концов каждого интервала сохраняется. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=-3\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{8}.$$ $$t=3\ \Longrightarrow\ x=8.$$ $$t=5\ \Longrightarrow\ x=32.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(0, \frac{1}{8}\right] \cup \left[8, 32\right) \cup \left(32, \infty\right).$$

Нужно найти все допустимые $x$, при которых неравенство верно. Повторяющиеся логарифмы удобно заменить одной переменной. Для логарифма требуется $x>0$. Введём: $$t=\log_{3}x,\qquad x=3^t.$$ Вложенный логарифм $\log_3(\log_3x)$ требует положительности своего аргумента: $$\log_3x>0\ \Longleftrightarrow x>1\ \Longleftrightarrow t>0.$$ Логарифм и степень с одинаковым основанием взаимно обратны при положительном аргументе: $$3^{\log_3(\log_3x)}=\log_3x=t.$$ Второй логарифм меняем к основанию 3: $$\log_9x=\frac{\log_3x}{\log_39}=\frac t2,\qquad(\log_9x)^2=\frac{t^2}4.$$ Поэтому исходное неравенство: $$t+\frac{t^2}4-8\le0.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{t^{2}}{4} + t - 8\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=\frac{t^{2}}{4} + t - 8,\qquad D=1.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=\frac{1}{4},\qquad B=1,\qquad C=-8.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(1\right)^2=1,$$ $$4AC=4\cdot\left(\frac{1}{4}\right)\cdot\left(-8\right)=-8.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=1-\left(-8\right)=9.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{9}=3.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=-1$, $2A=\frac{1}{2}$: $$t_1=\frac{-1+3}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4,$$ $$t_2=\frac{-1-3}{\frac{1}{2}}=\frac{-4}{\frac{1}{2}}=-8.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-8,4\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\frac{\left(t - 4\right) \left(t + 8\right)}{4}}{1}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-8:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-8<t<4:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$4<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 4\right].$$ Возвращаемся к $x$. По определению логарифма: $$t=\log_{3}(x)\ \Longleftrightarrow\ x=3^t.$$ Основание больше 1, поэтому функция $3^t$ возрастает: порядок концов каждого интервала сохраняется. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=0\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=4\ \Longrightarrow\ x=81.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(1, 81\right].$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. После замены знаменатели и ограничения: $$t--27\ne0,\quad t-27\ne0.$$ Переносим правую дробь влево и приводим к общему знаменателю. Первую умножаем сверху и снизу на второй знаменатель, вторую — на первый: $$\frac{2}{t-(-27)}-\frac1{t-(27)}=\frac{2(t-(27))-(t-(-27))}{(t-(-27))(t-(27)))}.$$ В числителе раскрываем скобки: $$2t-54-t+-27=1t+-81.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{2}{t + 27} - \frac{1}{t - 27}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t - 81,\qquad D=t^{2} - 729.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-729.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(0\right)^2=0,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-729\right)=-2916.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=0-\left(-2916\right)=2916.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{2916}=54.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=0$, $2A=2$: $$t_1=\frac{0+54}{2}=\frac{54}{2}=27,$$ $$t_2=\frac{0-54}{2}=\frac{-54}{2}=-27.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-27,27\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{t - 81}{\left(t - 27\right) \left(t + 27\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-27:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$-27<t<27:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$27<t<81:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$81<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 27\right) \cup \left[81, \infty\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=27\ \Longrightarrow\ x=3.$$ $$t=81\ \Longrightarrow\ x=4.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 3\right) \cup \left[4, \infty\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Знаменатель $x-1$ требует $x\ne1$. Переписываем числитель через $t$; множители перед степенями учитываем отдельно: $$t^{3} - 15 t^{2} + 63 t - 81.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $9$: $$P(9)=1\cdot\left(9\right)^{3}+-15\cdot\left(9\right)^{2}+63\cdot\left(9\right)^{1}+-81\cdot\left(9\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $t - 9$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{t^{3}}{t}=t^{2},$$ $$t^{2}\left(t - 9\right)=t^{3} - 9 t^{2},$$ $$\left(t^{3} - 15 t^{2} + 63 t - 81\right)-\left(t^{3} - 9 t^{2}\right)=- 6 t^{2} + 63 t - 81.$$ $$\frac{- 6 t^{2}}{t}=- 6 t,$$ $$- 6 t\left(t - 9\right)=- 6 t^{2} + 54 t,$$ $$\left(- 6 t^{2} + 63 t - 81\right)-\left(- 6 t^{2} + 54 t\right)=9 t - 81.$$ $$\frac{9 t}{t}=9,$$ $$9\left(t - 9\right)=9 t - 81,$$ $$\left(9 t - 81\right)-\left(9 t - 81\right)=0.$$ $$t^{3} - 15 t^{2} + 63 t - 81=\left(t - 9\right)\left(t^{2} - 6 t + 9\right).$$ Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-6,\qquad C=9.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-6\right)^2=36,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(9\right)=36.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=36-\left(36\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=6$, $2A=2$: $$t_1=\frac{6+0}{2}=\frac{6}{2}=3,$$ $$t_2=\frac{6-0}{2}=\frac{6}{2}=3.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{3\right\}.$$ Итак, числитель имеет вид: $$(t-9)(t-3)^2.$$ Квадрат равен нулю только при $t=3$, то есть $x=1$. Но эта точка уже запрещена знаменателем. На всей ОДЗ квадрат строго положителен, поэтому дробь имеет знак выражения: $$\frac{3^x-9}{x-1}\le0.$$ Основание 3 больше 1. Поэтому числитель отрицателен при $x<2$, равен нулю при $x=2$ и положителен при $x>2$, так как $9=3^2$. Знаменатель отрицателен при $x<1$ и положителен при $x>1$. Проверяем каждый промежуток: $$x<1:\quad(-)/(-)=+;$$ $$1<x<2:\quad(-)/(+)=-;$$ $$x>2:\quad(+)/(+)=+.$$ При $x=2$ дробь равна нулю и определена, поэтому точку включаем. При $x=1$ исходная дробь не определена независимо от числителя. Ответ: $$x\in(1;2].$$

Нужно найти, когда дробь неположительна. Её числитель неотрицателен: выделим полный квадрат: $$25x^2-120x+144=(5x)^2-2\cdot5x\cdot12+12^2=(5x-12)^2.$$ Он равен нулю только при $5x-12=0$, то есть $x=12/5$. Теперь исследуем знаменатель. Логарифм $\log_2(4^x-8)$ требует: $$4^x>8\ \Longleftrightarrow 2^{2x}>2^3\ \Longleftrightarrow x>3/2.$$ Аргумент второго логарифма $2^{x+1}$ положителен всегда. На этой области объединим разность: $$\log_2(4^x-8)-\log_2(2^{x+1})=\log_2\frac{4^x-8}{2^{x+1}}.$$ Введём временно $t=2^x>\sqrt8$. Тогда аргумент: $$\frac{t^2-8}{2t}>0.$$ Знаменатель дроби обращается в ноль, когда этот аргумент равен1. Решаем: $$\frac{t^2-8}{2t}=1\ \Longleftrightarrow t^2-2t-8=0,$$ $$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36,$$ $$t=\frac{2\pm6}2:\quad t=4\ \text{или}\ t=-2.$$ Отрицательный $t$ невозможен, а $t=4=2^2$ означает запрещённое $x=2$. Чтобы понять знак логарифма, сравним его аргумент с1: $$\frac{t^2-8}{2t}-1=\frac{t^2-2t-8}{2t}=\frac{(t-4)(t+2)}{2t}.$$ При $t>\sqrt8$ множители $t+2$ и $2t$ положительны. Значит, аргумент меньше1 при $t<4$ и больше1 при $t>4$. Логарифм с основанием2 имеет соответственно отрицательный и положительный знаки. Итак, знаменатель отрицателен при $3/2<x<2$ и положителен при $x>2$. На первом промежутке неотрицательный числитель, делённый на отрицательный знаменатель, неположителен: все точки подходят. При $x>2$ дробь неотрицательна, и для требуемого знака подходит только нулевой числитель $x=12/5$. Эта точка больше2, её знаменатель определён и положителен. Ответ: $$x\in(3/2;2)\cup\{12/5\}.$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=2^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Аргумент логарифма должен быть положительным: $$2^x-2>0\ \Longleftrightarrow 2^x>2\ \Longleftrightarrow x>1.$$ Поэтому в новой переменной обязательно $t>2$. На этой области: $$3^{\log_3(2^x-2)}=2^x-2=t-2,\qquad4^x=(2^x)^2=t^2.$$ Подставляем и складываем постоянные: $$(t-2)+t^2-18=t^2+t-20\le0.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$t^{2} + t - 20\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} + t - 20,\qquad D=1.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=1,\qquad C=-20.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(1\right)^2=1,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-20\right)=-80.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=1-\left(-80\right)=81.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{81}=9.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=-1$, $2A=2$: $$t_1=\frac{-1+9}{2}=\frac{8}{2}=4,$$ $$t_2=\frac{-1-9}{2}=\frac{-10}{2}=-5.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-5,4\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 4\right) \left(t + 5\right)}{1}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-5:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-5<t<4:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$4<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(2, 4\right].$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=2^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{2}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=2\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=4\ \Longrightarrow\ x=2.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(1, 2\right].$$