Смешанные неравенства — задание №15 ЕГЭ по математике

Нужно найти все допустимые $x$, при которых неравенство верно. Повторяющиеся логарифмы удобно заменить одной переменной. Для логарифма требуется $x>0$. Введём: $$t=\log_{3}x,\qquad x=3^t.$$ Вложенный логарифм $\log_3(\log_3x)$ требует положительности своего аргумента: $$\log_3x>0\ \Longleftrightarrow x>1\ \Longleftrightarrow t>0.$$ Логарифм и степень с одинаковым основанием взаимно обратны при положительном аргументе: $$3^{\log_3(\log_3x)}=\log_3x=t.$$ Второй логарифм меняем к основанию 3: $$\log_9x=\frac{\log_3x}{\log_39}=\frac t2,\qquad(\log_9x)^2=\frac{t^2}4.$$ Поэтому исходное неравенство: $$t+\frac{t^2}4-8\le0.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{t^{2}}{4} + t - 8\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=\frac{t^{2}}{4} + t - 8,\qquad D=1.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=\frac{1}{4},\qquad B=1,\qquad C=-8.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(1\right)^2=1,$$ $$4AC=4\cdot\left(\frac{1}{4}\right)\cdot\left(-8\right)=-8.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=1-\left(-8\right)=9.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{9}=3.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=-1$, $2A=\frac{1}{2}$: $$t_1=\frac{-1+3}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4,$$ $$t_2=\frac{-1-3}{\frac{1}{2}}=\frac{-4}{\frac{1}{2}}=-8.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-8,4\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\frac{\left(t - 4\right) \left(t + 8\right)}{4}}{1}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-8:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-8<t<4:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$4<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 4\right].$$ Возвращаемся к $x$. По определению логарифма: $$t=\log_{3}(x)\ \Longleftrightarrow\ x=3^t.$$ Основание больше 1, поэтому функция $3^t$ возрастает: порядок концов каждого интервала сохраняется. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=0\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=4\ \Longrightarrow\ x=81.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(1, 81\right].$$

Нужно найти, когда дробь неположительна. Её числитель неотрицателен: выделим полный квадрат: $$25x^2-120x+144=(5x)^2-2\cdot5x\cdot12+12^2=(5x-12)^2.$$ Он равен нулю только при $5x-12=0$, то есть $x=12/5$. Теперь исследуем знаменатель. Логарифм $\log_2(4^x-8)$ требует: $$4^x>8\ \Longleftrightarrow 2^{2x}>2^3\ \Longleftrightarrow x>3/2.$$ Аргумент второго логарифма $2^{x+1}$ положителен всегда. На этой области объединим разность: $$\log_2(4^x-8)-\log_2(2^{x+1})=\log_2\frac{4^x-8}{2^{x+1}}.$$ Введём временно $t=2^x>\sqrt8$. Тогда аргумент: $$\frac{t^2-8}{2t}>0.$$ Знаменатель дроби обращается в ноль, когда этот аргумент равен1. Решаем: $$\frac{t^2-8}{2t}=1\ \Longleftrightarrow t^2-2t-8=0,$$ $$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36,$$ $$t=\frac{2\pm6}2:\quad t=4\ \text{или}\ t=-2.$$ Отрицательный $t$ невозможен, а $t=4=2^2$ означает запрещённое $x=2$. Чтобы понять знак логарифма, сравним его аргумент с1: $$\frac{t^2-8}{2t}-1=\frac{t^2-2t-8}{2t}=\frac{(t-4)(t+2)}{2t}.$$ При $t>\sqrt8$ множители $t+2$ и $2t$ положительны. Значит, аргумент меньше1 при $t<4$ и больше1 при $t>4$. Логарифм с основанием2 имеет соответственно отрицательный и положительный знаки. Итак, знаменатель отрицателен при $3/2<x<2$ и положителен при $x>2$. На первом промежутке неотрицательный числитель, делённый на отрицательный знаменатель, неположителен: все точки подходят. При $x>2$ дробь неотрицательна, и для требуемого знака подходит только нулевой числитель $x=12/5$. Эта точка больше2, её знаменатель определён и положителен. Ответ: $$x\in(3/2;2)\cup\{12/5\}.$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=2^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Аргумент логарифма должен быть положительным: $$2^x-2>0\ \Longleftrightarrow 2^x>2\ \Longleftrightarrow x>1.$$ Поэтому в новой переменной обязательно $t>2$. На этой области: $$3^{\log_3(2^x-2)}=2^x-2=t-2,\qquad4^x=(2^x)^2=t^2.$$ Подставляем и складываем постоянные: $$(t-2)+t^2-18=t^2+t-20\le0.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$t^{2} + t - 20\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} + t - 20,\qquad D=1.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=1,\qquad C=-20.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(1\right)^2=1,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-20\right)=-80.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=1-\left(-80\right)=81.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{81}=9.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=-1$, $2A=2$: $$t_1=\frac{-1+9}{2}=\frac{8}{2}=4,$$ $$t_2=\frac{-1-9}{2}=\frac{-10}{2}=-5.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-5,4\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 4\right) \left(t + 5\right)}{1}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-5:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-5<t<4:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$4<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(2, 4\right].$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=2^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{2}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=2\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=4\ \Longrightarrow\ x=2.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(1, 2\right].$$

Для решения дробного неравенства сначала исследуем знаменатель. Аргумент $0{,}2\cdot5^x=5^x/5=5^{x-1}$ положителен при любом $x$. По правилу логарифма степени: $$\log_3(0{,}2\cdot5^x)=\log_3(5^{x-1})=(x-1)\log_35.$$ Постоянная $\log_35$ положительна, потому что основание3 больше1, а аргумент5 больше1. Знаменатель равен нулю только при $x=1$: эту точку исключаем. Числитель разложим группировкой: $$x^2+4x-5=x^2+5x-x-5=x(x+5)-(x+5)=(x-1)(x+5).$$ На $x\ne1$ сокращаем ненулевой множитель, сохраняя исходный запрет: $$\frac{(x-1)(x+5)}{(x-1)\log_35}=\frac{x+5}{\log_35}\ge0,\qquad x\ne1.$$ Умножаем на положительное $\log_35$ без смены знака: $$x+5\ge0\ \Longleftrightarrow x\ge-5.$$ Из этого промежутка убираем1. При $x=-5$ исходный числитель нулевой, а знаменатель $-6\log_35\ne0$, поэтому равенство разрешено. Ответ: $$x\in[-5;1)\cup(1;+\infty).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=5^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Для логарифма требуется: $$25-5^x>0\ \Longleftrightarrow 5^x<25\ \Longleftrightarrow x<2.$$ В новой переменной сохраняем $0<t<25$. На этой области: $$3^{\log_3(25-5^x)}=25-5^x=25-t,\qquad25^x=(5^x)^2=t^2.$$ После подстановки: $$(25-t)+t^2-45=t^2-t-20\ge0.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$t^{2} - t - 20\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} - t - 20,\qquad D=1.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-1,\qquad C=-20.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-1\right)^2=1,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-20\right)=-80.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=1-\left(-80\right)=81.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{81}=9.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=1$, $2A=2$: $$t_1=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5,$$ $$t_2=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=-4.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-4,5\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 5\right) \left(t + 4\right)}{1}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-4:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-4<t<5:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$5<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left[5, 25\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=5^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{5}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=5\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=25\ \Longrightarrow\ x=2.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left[1, 2\right).$$

Нужно решить неравенство, сохранив область определения логарифма. Его аргумент: $$4-x^2>0\ \Longleftrightarrow x^2<4\ \Longleftrightarrow -2<x<2.$$ На этой области степень и логарифм с основанием 3 взаимно обратны: $$3^{\log_3(4-x^2)}=4-x^2.$$ Подставляем: $$4-x^2+x^4-10\ge0\ \Longleftrightarrow x^4-x^2-6\ge0.$$ Чтобы решить биквадратное неравенство, введём $t=x^2\ge0$. Получаем: $$t^2-t-6\ge0.$$ Найдём корни: $$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25,$$ $$t_{1,2}=\frac{1\pm5}2:\quad t_1=-2,\quad t_2=3.$$ Парабола направлена вверх, поэтому неотрицательна при $t\le-2$ или $t\ge3$. Первый случай невозможен, потому что $t=x^2\ge0$. Значит: $$x^2\ge3\ \Longleftrightarrow x\le-\sqrt3\ \text{или}\ x\ge\sqrt3.$$ Пересекаем с $-2<x<2$. Точки $\pm\sqrt3$ включены: там исходное выражение равно нулю и логарифм определён. Точки $\pm2$ запрещены. Ответ: $$x\in(-2;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;2).$$