Решите неравенство ${3}^{{\log }_{3}(4 - {x}^{2})}+{x}^{4}-10\ge 0.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(-2;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;2)$.
Решение
Нужно решить неравенство, сохранив область определения логарифма. Его аргумент:
$$4-x^2>0\ \Longleftrightarrow x^2<4\ \Longleftrightarrow -2<x<2.$$
На этой области степень и логарифм с основанием 3 взаимно обратны:
$$3^{\log_3(4-x^2)}=4-x^2.$$
Подставляем:
$$4-x^2+x^4-10\ge0\ \Longleftrightarrow x^4-x^2-6\ge0.$$
Чтобы решить биквадратное неравенство, введём $t=x^2\ge0$. Получаем:
$$t^2-t-6\ge0.$$
Найдём корни:
$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm5}2:\quad t_1=-2,\quad t_2=3.$$
Парабола направлена вверх, поэтому неотрицательна при $t\le-2$ или $t\ge3$. Первый случай невозможен, потому что $t=x^2\ge0$. Значит:
$$x^2\ge3\ \Longleftrightarrow x\le-\sqrt3\ \text{или}\ x\ge\sqrt3.$$
Пересекаем с $-2<x<2$. Точки $\pm\sqrt3$ включены: там исходное выражение равно нулю и логарифм определён. Точки $\pm2$ запрещены. Ответ:
$$x\in(-2;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;2).$$