Решите неравенство $\frac{{x}^{2}+4x-5}{{\log }_{3}(0,2\cdot {5}^{x})}\ge 0.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in[-5;1)\cup(1;+\infty)$.
Решение
Для решения дробного неравенства сначала исследуем знаменатель. Аргумент $0{,}2\cdot5^x=5^x/5=5^{x-1}$ положителен при любом $x$. По правилу логарифма степени:
$$\log_3(0{,}2\cdot5^x)=\log_3(5^{x-1})=(x-1)\log_35.$$
Постоянная $\log_35$ положительна, потому что основание3 больше1, а аргумент5 больше1. Знаменатель равен нулю только при $x=1$: эту точку исключаем.
Числитель разложим группировкой:
$$x^2+4x-5=x^2+5x-x-5=x(x+5)-(x+5)=(x-1)(x+5).$$
На $x\ne1$ сокращаем ненулевой множитель, сохраняя исходный запрет:
$$\frac{(x-1)(x+5)}{(x-1)\log_35}=\frac{x+5}{\log_35}\ge0,\qquad x\ne1.$$
Умножаем на положительное $\log_35$ без смены знака:
$$x+5\ge0\ \Longleftrightarrow x\ge-5.$$
Из этого промежутка убираем1. При $x=-5$ исходный числитель нулевой, а знаменатель $-6\log_35\ne0$, поэтому равенство разрешено. Ответ:
$$x\in[-5;1)\cup(1;+\infty).$$