ФИПИ 4c5D98 — Смешанные неравенства

Нужно найти, когда дробь неположительна. Её числитель неотрицателен: выделим полный квадрат: $$25x^2-120x+144=(5x)^2-2\cdot5x\cdot12+12^2=(5x-12)^2.$$ Он равен нулю только при $5x-12=0$, то есть $x=12/5$. Теперь исследуем знаменатель. Логарифм $\log_2(4^x-8)$ требует: $$4^x>8\ \Longleftrightarrow 2^{2x}>2^3\ \Longleftrightarrow x>3/2.$$ Аргумент второго логарифма $2^{x+1}$ положителен всегда. На этой области объединим разность: $$\log_2(4^x-8)-\log_2(2^{x+1})=\log_2\frac{4^x-8}{2^{x+1}}.$$ Введём временно $t=2^x>\sqrt8$. Тогда аргумент: $$\frac{t^2-8}{2t}>0.$$ Знаменатель дроби обращается в ноль, когда этот аргумент равен1. Решаем: $$\frac{t^2-8}{2t}=1\ \Longleftrightarrow t^2-2t-8=0,$$ $$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36,$$ $$t=\frac{2\pm6}2:\quad t=4\ \text{или}\ t=-2.$$ Отрицательный $t$ невозможен, а $t=4=2^2$ означает запрещённое $x=2$. Чтобы понять знак логарифма, сравним его аргумент с1: $$\frac{t^2-8}{2t}-1=\frac{t^2-2t-8}{2t}=\frac{(t-4)(t+2)}{2t}.$$ При $t>\sqrt8$ множители $t+2$ и $2t$ положительны. Значит, аргумент меньше1 при $t<4$ и больше1 при $t>4$. Логарифм с основанием2 имеет соответственно отрицательный и положительный знаки. Итак, знаменатель отрицателен при $3/2<x<2$ и положителен при $x>2$. На первом промежутке неотрицательный числитель, делённый на отрицательный знаменатель, неположителен: все точки подходят. При $x>2$ дробь неотрицательна, и для требуемого знака подходит только нулевой числитель $x=12/5$. Эта точка больше2, её знаменатель определён и положителен. Ответ: $$x\in(3/2;2)\cup\{12/5\}.$$