Показательные неравенства — задание №15 ЕГЭ по математике

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. После замены знаменатели и ограничения: $$t-81\ne0,\quad t-9\ne0.$$ Переносим правую дробь влево и приводим к общему знаменателю. Первую умножаем сверху и снизу на второй знаменатель, вторую — на первый: $$\frac{13}{t-(81)}-\frac1{t-(9)}=\frac{13(t-(9))-(t-(81))}{(t-(81))(t-(9)))}.$$ В числителе раскрываем скобки: $$13t-117-t+81=12t+-36.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$- \frac{1}{t - 9} + \frac{13}{t - 81}\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=12 t - 36,\qquad D=t^{2} - 90 t + 729.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-90,\qquad C=729.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-90\right)^2=8100,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(729\right)=2916.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=8100-\left(2916\right)=5184.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{5184}=72.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=90$, $2A=2$: $$t_1=\frac{90+72}{2}=\frac{162}{2}=81,$$ $$t_2=\frac{90-72}{2}=\frac{18}{2}=9.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{9,81\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{12 \left(t - 3\right)}{\left(t - 81\right) \left(t - 9\right)}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<3:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$3<t<9:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$9<t<81:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$81<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 3\right] \cup \left(9, 81\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=3\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=9\ \Longrightarrow\ x=2.$$ $$t=81\ \Longrightarrow\ x=4.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 1\right] \cup \left(2, 4\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=11^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Применим правило степени степени: $$121^x=(11^2)^x=(11^x)^2=t^2.$$ Знаменатель раскладываем через разбиение среднего слагаемого: $$t^2-16t+60=t^2-6t-10t+60=t(t-6)-10(t-6)=(t-6)(t-10).$$ Запрещены $t=6,10$. Переносим правую дробь влево: $$t-6-\frac{24t-244}{(t-6)(t-10)}-\frac1{t-10}\le0.$$ Общий числитель: $$N=(t-6)^2(t-10)-(24t-244)-(t-6).$$ Сначала раскрываем квадрат и умножаем: $$(t^2-12t+36)(t-10)=t^3-22t^2+156t-360.$$ Вычитаем остальные слагаемые: $$N=t^3-22t^2+156t-360-24t+244-t+6=t^3-22t^2+131t-110.$$ После сокращений по-прежнему сохраняем оба первоначальных запрета. Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$t - 6 - \frac{1}{t - 10} - \frac{24 t - 244}{\left(t - 10\right) \left(t - 6\right)}\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} - 12 t + 11,\qquad D=t - 6.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-12,\qquad C=11.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-12\right)^2=144,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(11\right)=44.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=144-\left(44\right)=100.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{100}=10.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=12$, $2A=2$: $$t_1=\frac{12+10}{2}=\frac{22}{2}=11,$$ $$t_2=\frac{12-10}{2}=\frac{2}{2}=1.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{1,11\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 11\right) \left(t - 1\right)}{t - 6}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<1:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$1<t<6:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$6<t<11:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$11<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 1\right] \cup \left(6, 10\right) \cup \left(10, 11\right].$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=11^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{11}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=1\ \Longrightarrow\ x=0.$$ $$t=6\ \Longrightarrow\ x=\frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}.$$ $$t=10\ \Longrightarrow\ x=\frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}.$$ $$t=11\ \Longrightarrow\ x=1.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 0\right] \cup \left(\frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}, \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}\right) \cup \left(\frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(11 \right)}}, 1\right].$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=2^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Переписываем степени подробно: $$8^{x+2/3}=8^x\cdot8^{2/3}=(2^x)^3\cdot(\sqrt[3]8)^2=4t^3,$$ $$4^{x+1/2}=4^x\sqrt4=(2^x)^2\cdot2=2t^2,\qquad2^{x+1}=2t.$$ Квадратный знаменатель: $$2t^2-9t+4=2t^2-t-8t+4=t(2t-1)-4(2t-1)=(2t-1)(t-4).$$ Поэтому запрещены $t=1/2,2,4$. После переноса всех правых слагаемых влево общий знаменатель $(2t-1)(t-4)(t-2)$, а числитель: $$N=(4t^3-18t^2+13t-13)(t-2)-2t(2t-1)(t-4)(t-2)+(2t-1)(t-4)-3(t-4)(t-2).$$ Раскрываем каждое произведение отдельно: $$(4t^3-18t^2+13t-13)(t-2)=4t^4-26t^3+49t^2-39t+26,$$ $$-2t(2t-1)(t-4)(t-2)=-4t^4+26t^3-44t^2+16t,$$ $$(2t-1)(t-4)=2t^2-9t+4,$$ $$-3(t-4)(t-2)=-3t^2+18t-24.$$ Суммируем коэффициенты одинаковых степеней: $$N=(4-4)t^4+(-26+26)t^3+(49-44+2-3)t^2+(-39+16-9+18)t+(26+4-24)$$ $$N=4t^2-14t+6.$$ Сокращение общих множителей в дальнейшем не снимает ни одного исходного запрета. Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$- 2 t - \frac{3}{2 t - 1} + \frac{1}{t - 2} + \frac{4 t^{3} - 18 t^{2} + 13 t - 13}{\left(t - 4\right) \left(2 t - 1\right)}\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=2 t - 6,\qquad D=t^{2} - 6 t + 8.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-6,\qquad C=8.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-6\right)^2=36,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(8\right)=32.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=36-\left(32\right)=4.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{4}=2.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=6$, $2A=2$: $$t_1=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4,$$ $$t_2=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{2,4\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{2 \left(t - 3\right)}{\left(t - 4\right) \left(t - 2\right)}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<2:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$2<t<3:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$3<t<4:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$4<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 2\right) \cup \left[3, 4\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=2^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{2}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=\frac{1}{2}\ \Longrightarrow\ x=-1.$$ $$t=2\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=3\ \Longrightarrow\ x=\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}.$$ $$t=4\ \Longrightarrow\ x=2.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(-1, 1\right) \cup \left[\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, 2\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. После замены знаменатели и ограничения: $$t--27\ne0,\quad t-27\ne0.$$ Переносим правую дробь влево и приводим к общему знаменателю. Первую умножаем сверху и снизу на второй знаменатель, вторую — на первый: $$\frac{2}{t-(-27)}-\frac1{t-(27)}=\frac{2(t-(27))-(t-(-27))}{(t-(-27))(t-(27)))}.$$ В числителе раскрываем скобки: $$2t-54-t+-27=1t+-81.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{2}{t + 27} - \frac{1}{t - 27}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t - 81,\qquad D=t^{2} - 729.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-729.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(0\right)^2=0,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-729\right)=-2916.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=0-\left(-2916\right)=2916.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{2916}=54.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=0$, $2A=2$: $$t_1=\frac{0+54}{2}=\frac{54}{2}=27,$$ $$t_2=\frac{0-54}{2}=\frac{-54}{2}=-27.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-27,27\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{t - 81}{\left(t - 27\right) \left(t + 27\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-27:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$-27<t<27:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$27<t<81:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$81<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 27\right) \cup \left[81, \infty\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=27\ \Longrightarrow\ x=3.$$ $$t=81\ \Longrightarrow\ x=4.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 3\right) \cup \left[4, \infty\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Знаменатель $x-1$ требует $x\ne1$. Переписываем числитель через $t$; множители перед степенями учитываем отдельно: $$t^{3} - 15 t^{2} + 63 t - 81.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $9$: $$P(9)=1\cdot\left(9\right)^{3}+-15\cdot\left(9\right)^{2}+63\cdot\left(9\right)^{1}+-81\cdot\left(9\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $t - 9$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{t^{3}}{t}=t^{2},$$ $$t^{2}\left(t - 9\right)=t^{3} - 9 t^{2},$$ $$\left(t^{3} - 15 t^{2} + 63 t - 81\right)-\left(t^{3} - 9 t^{2}\right)=- 6 t^{2} + 63 t - 81.$$ $$\frac{- 6 t^{2}}{t}=- 6 t,$$ $$- 6 t\left(t - 9\right)=- 6 t^{2} + 54 t,$$ $$\left(- 6 t^{2} + 63 t - 81\right)-\left(- 6 t^{2} + 54 t\right)=9 t - 81.$$ $$\frac{9 t}{t}=9,$$ $$9\left(t - 9\right)=9 t - 81,$$ $$\left(9 t - 81\right)-\left(9 t - 81\right)=0.$$ $$t^{3} - 15 t^{2} + 63 t - 81=\left(t - 9\right)\left(t^{2} - 6 t + 9\right).$$ Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-6,\qquad C=9.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-6\right)^2=36,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(9\right)=36.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=36-\left(36\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=6$, $2A=2$: $$t_1=\frac{6+0}{2}=\frac{6}{2}=3,$$ $$t_2=\frac{6-0}{2}=\frac{6}{2}=3.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{3\right\}.$$ Итак, числитель имеет вид: $$(t-9)(t-3)^2.$$ Квадрат равен нулю только при $t=3$, то есть $x=1$. Но эта точка уже запрещена знаменателем. На всей ОДЗ квадрат строго положителен, поэтому дробь имеет знак выражения: $$\frac{3^x-9}{x-1}\le0.$$ Основание 3 больше 1. Поэтому числитель отрицателен при $x<2$, равен нулю при $x=2$ и положителен при $x>2$, так как $9=3^2$. Знаменатель отрицателен при $x<1$ и положителен при $x>1$. Проверяем каждый промежуток: $$x<1:\quad(-)/(-)=+;$$ $$1<x<2:\quad(-)/(+)=-;$$ $$x>2:\quad(+)/(+)=+.$$ При $x=2$ дробь равна нулю и определена, поэтому точку включаем. При $x=1$ исходная дробь не определена независимо от числителя. Ответ: $$x\in(1;2].$$

Нужно определить знак дроби и сохранить запрет нулевого знаменателя. В числителе повторяются степени тройки. Введём $t=3^x>0$. По свойствам степеней: $$27^x=(3^x)^3=t^3,\quad9^x=(3^x)^2=t^2.$$ После подстановки числитель равен: $$3t^3-9t^2+9t-3.$$ Вынесем постоянный множитель и выведем куб разности. Сначала квадрат, затем умножение: $$(t-1)^2=t^2-2t+1,$$ $$(t^2-2t+1)(t-1)=t^3-3t^2+3t-1.$$ Значит, числитель равен $3(t-1)^3$. Знаменатель выделим в квадрат: $$50x^2-30x+\frac{9}{2}=50(x^2-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100})$$ $$=50(x-\frac{3}{10})^2.$$ Он строго положителен при $x\ne\frac{3}{10}$ и равен нулю в запрещённой точке. Поэтому знак дроби совпадает со знаком куба $t-1$. Куб сохраняет знак своего основания. Для неотрицательной дроби нужно: $$(t-1)^3\ge0\ \Longleftrightarrow t\ge1.$$ Возвращаемся к степени: $$3^x\ge1=3^{0}\ \Longleftrightarrow\ x\ge0.$$ Из этого промежутка исключаем исходный нулевой знаменатель. В точке $x=0$ числитель нулевой, знаменатель положителен, поэтому её включаем. Ответ: $$x\in[0;\frac{3}{10})\cup(\frac{3}{10};+\infty).$$

Нужно, чтобы дробь была неотрицательна. Сначала ОДЗ знаменателя: $$-x^2+2x=x(2-x)\ne0\ \Longrightarrow x\ne0,2.$$ В числителе $15^x=3^x5^x$, а $3^{x+1}=3\cdot3^x$, $5^{x+1}=5\cdot5^x$. Группируем: $$3^x5^x-3\cdot3^x-5\cdot5^x+15$$ $$=3^x(5^x-3)-5(5^x-3)=(3^x-5)(5^x-3).$$ Каждый степенной множитель строго возрастает. Его нуль: $$3^x-5=0\ \Longleftrightarrow x=\log_35=\beta,$$ $$5^x-3=0\ \Longleftrightarrow x=\log_53=\alpha.$$ Установим порядок точек без десятичных приближений. Поскольку $5^0=1<3<5=5^1$, имеем $0<\alpha<1$. Поскольку $3^1=3<5<9=3^2$, имеем $1<\beta<2$. Итак: $$0<\alpha<1<\beta<2.$$ При $x<\alpha$ оба степенных множителя отрицательны, их произведение положительно. При $\alpha<x<\beta$ первый отрицателен, второй положителен: произведение отрицательно. При $x>\beta$ оба положительны. Знаменатель $x(2-x)$ положителен на $(0;2)$ и отрицателен вне этого промежутка. Выпишем знак всей дроби: $$x<0:\ (+)/(-)=-;$$ $$0<x<\alpha:\ (+)/(+)=+;$$ $$\alpha<x<\beta:\ (-)/(+)=-;$$ $$\beta<x<2:\ (+)/(+)=+;$$ $$x>2:\ (+)/(-)=-.$$ Нужен плюс или ноль. Нули $\alpha,\beta$ допустимы, потому что строго между0 и2; точки0 и2 запрещены знаменателем. Ответ: $$x\in(0;\log_53]\cup[\log_35;2).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. После замены знаменатели и ограничения: $$t-27\ne0,\quad t-9\ne0.$$ Переносим правую дробь влево и приводим к общему знаменателю. Первую умножаем сверху и снизу на второй знаменатель, вторую — на первый: $$\frac{4}{t-(27)}-\frac1{t-(9)}=\frac{4(t-(9))-(t-(27))}{(t-(27))(t-(9)))}.$$ В числителе раскрываем скобки: $$4t-36-t+27=3t+-9.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$- \frac{1}{t - 9} + \frac{4}{t - 27}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=3 t - 9,\qquad D=t^{2} - 36 t + 243.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-36,\qquad C=243.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-36\right)^2=1296,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(243\right)=972.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=1296-\left(972\right)=324.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{324}=18.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=36$, $2A=2$: $$t_1=\frac{36+18}{2}=\frac{54}{2}=27,$$ $$t_2=\frac{36-18}{2}=\frac{18}{2}=9.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{9,27\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{3 \left(t - 3\right)}{\left(t - 27\right) \left(t - 9\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<3:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$3<t<9:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$9<t<27:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$27<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left[3, 9\right) \cup \left(27, \infty\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=3\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=9\ \Longrightarrow\ x=2.$$ $$t=27\ \Longrightarrow\ x=3.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left[1, 2\right) \cup \left(3, \infty\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Знаменатель требует: $$t\ne36.$$ Чтобы сложить целую часть и дробь, представляем $t$ как дробь с тем же знаменателем: $$t+\frac{243}{t-36}=\frac{t(t-36)+243}{t-36}=\frac{t^2-36t+243}{t-36}.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$t + \frac{243}{t - 36}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} - 36 t + 243,\qquad D=t - 36.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-36,\qquad C=243.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-36\right)^2=1296,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(243\right)=972.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=1296-\left(972\right)=324.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{324}=18.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=36$, $2A=2$: $$t_1=\frac{36+18}{2}=\frac{54}{2}=27,$$ $$t_2=\frac{36-18}{2}=\frac{18}{2}=9.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{9,27\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 27\right) \left(t - 9\right)}{t - 36}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<9:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$9<t<27:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$27<t<36:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$36<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left[9, 27\right] \cup \left(36, \infty\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=9\ \Longrightarrow\ x=2.$$ $$t=27\ \Longrightarrow\ x=3.$$ $$t=36\ \Longrightarrow\ x=\log{\left(6^{\frac{2}{\log{\left(3 \right)}}} \right)}.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left[2, 3\right] \cup \left(\log{\left(6^{\frac{2}{\log{\left(3 \right)}}} \right)}, \infty\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=2^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. По правилам степеней: $$4^x=(2^x)^2=t^2,\qquad3\cdot2^{x+1}=3\cdot2\cdot2^x=6t.$$ Знаменатели запрещают $t=5,8$. После переноса $t+5$ влево общий числитель: $$N=(t^2-6t+4)(t-8)+(6t-46)(t-5)-(t+5)(t-5)(t-8).$$ Раскрываем каждую группу: $$(t^2-6t+4)(t-8)=t^3-14t^2+52t-32,$$ $$(6t-46)(t-5)=6t^2-76t+230,$$ $$-(t+5)(t-5)(t-8)=-(t^2-25)(t-8)=-t^3+8t^2+25t-200.$$ Складываем: $$N=(1-1)t^3+(-14+6+8)t^2+(52-76+25)t+(-32+230-200)=t-2.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$- t - 5 + \frac{t^{2} - 6 t + 4}{t - 5} + \frac{6 t - 46}{t - 8}\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t - 2,\qquad D=t^{2} - 13 t + 40.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-13,\qquad C=40.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-13\right)^2=169,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(40\right)=160.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=169-\left(160\right)=9.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{9}=3.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=13$, $2A=2$: $$t_1=\frac{13+3}{2}=\frac{16}{2}=8,$$ $$t_2=\frac{13-3}{2}=\frac{10}{2}=5.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{5,8\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{t - 2}{\left(t - 8\right) \left(t - 5\right)}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<2:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$2<t<5:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$5<t<8:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$8<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 2\right] \cup \left(5, 8\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=2^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{2}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=2\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=5\ \Longrightarrow\ x=\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}.$$ $$t=8\ \Longrightarrow\ x=3.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 1\right] \cup \left(\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, 3\right).$$

Нужно определить, где дробь неотрицательна. Начнём со знаменателя: он является квадратом, но его нули нужно исключить. Введём временно $u=2^{x^2}>0$. Тогда: $$4^{x^2}-8\cdot2^{x^2}+16=u^2-8u+16=(u-4)^2.$$ Последнее равенство проверяется раскрытием квадрата $(u-4)^2=u^2-2\cdot4u+16$. Поэтому знаменатель нулевой только при: $$u=4\ \Longleftrightarrow 2^{x^2}=2^2\ \Longleftrightarrow x^2=2\ \Longleftrightarrow x=\pm\sqrt2.$$ На остальных $x$ знаменатель положителен. Значит, исходное неравенство равносильно неотрицательности числителя, с сохранением запретов: Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$x^{3} + x^{2} - x - 1\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=x^{3} + x^{2} - x - 1,\qquad D=1.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $1$: $$P(1)=1\cdot\left(1\right)^{3}+1\cdot\left(1\right)^{2}+-1\cdot\left(1\right)^{1}+-1\cdot\left(1\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $x - 1$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{x^{3}}{x}=x^{2},$$ $$x^{2}\left(x - 1\right)=x^{3} - x^{2},$$ $$\left(x^{3} + x^{2} - x - 1\right)-\left(x^{3} - x^{2}\right)=2 x^{2} - x - 1.$$ $$\frac{2 x^{2}}{x}=2 x,$$ $$2 x\left(x - 1\right)=2 x^{2} - 2 x,$$ $$\left(2 x^{2} - x - 1\right)-\left(2 x^{2} - 2 x\right)=x - 1.$$ $$\frac{x}{x}=1,$$ $$1\left(x - 1\right)=x - 1,$$ $$\left(x - 1\right)-\left(x - 1\right)=0.$$ $$x^{3} + x^{2} - x - 1=\left(x - 1\right)\left(x^{2} + 2 x + 1\right).$$ Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(2)^2-4\cdot(1)\cdot(1)=0.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(2)\pm\sqrt{0}}{2\cdot(1)}.$$ $$x\in\left\{-1\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}{1}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<x<-1:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$-1<x<1:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$1<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$x\in \left\{-1\right\} \cup \left[1, \sqrt{2}\right) \cup \left(\sqrt{2}, \infty\right).$$ Ответ: $$x\in \left\{-1\right\} \cup \left[1, \sqrt{2}\right) \cup \left(\sqrt{2}, \infty\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Преобразуем остальные степени: $$9^x=(3^x)^2=t^2,\qquad4\cdot3^{x+1}=4\cdot3\cdot3^x=12t.$$ Знаменатели: $$t^2-81=(t-9)(t+9),\qquad t+9>0,\quad t\ne9.$$ После переноса правой части влево общий числитель: $$N=(t+9)^2+(t-9)^2-(12t+144)$$ $$N=t^2+18t+81+t^2-18t+81-12t-144=2t^2-12t+18.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{t - 9}{t + 9} - \frac{12 t + 144}{t^{2} - 81} + \frac{t + 9}{t - 9}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=2 t^{2} - 12 t + 18,\qquad D=t^{2} - 81.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=2,\qquad B=-12,\qquad C=18.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-12\right)^2=144,$$ $$4AC=4\cdot\left(2\right)\cdot\left(18\right)=144.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=144-\left(144\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=12$, $2A=4$: $$t_1=\frac{12+0}{4}=\frac{12}{4}=3,$$ $$t_2=\frac{12-0}{4}=\frac{12}{4}=3.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{3\right\}.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-81.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(0\right)^2=0,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-81\right)=-324.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=0-\left(-324\right)=324.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{324}=18.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=0$, $2A=2$: $$t_1=\frac{0+18}{2}=\frac{18}{2}=9,$$ $$t_2=\frac{0-18}{2}=\frac{-18}{2}=-9.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-9,9\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{2 \left(t - 3\right)^{2}}{\left(t - 9\right) \left(t + 9\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-9:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-9<t<3:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$3<t<9:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$9<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left\{3\right\} \cup \left(9, \infty\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=3\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=9\ \Longrightarrow\ x=2.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left\{1\right\} \cup \left(2, \infty\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=2^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Знаменатель $x-1$ требует $x\ne1$. Переписываем числитель через $t$; множители перед степенями учитываем отдельно: $$t^{3} - 8 t^{2} + 20 t - 16.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $4$: $$P(4)=1\cdot\left(4\right)^{3}+-8\cdot\left(4\right)^{2}+20\cdot\left(4\right)^{1}+-16\cdot\left(4\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $t - 4$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{t^{3}}{t}=t^{2},$$ $$t^{2}\left(t - 4\right)=t^{3} - 4 t^{2},$$ $$\left(t^{3} - 8 t^{2} + 20 t - 16\right)-\left(t^{3} - 4 t^{2}\right)=- 4 t^{2} + 20 t - 16.$$ $$\frac{- 4 t^{2}}{t}=- 4 t,$$ $$- 4 t\left(t - 4\right)=- 4 t^{2} + 16 t,$$ $$\left(- 4 t^{2} + 20 t - 16\right)-\left(- 4 t^{2} + 16 t\right)=4 t - 16.$$ $$\frac{4 t}{t}=4,$$ $$4\left(t - 4\right)=4 t - 16,$$ $$\left(4 t - 16\right)-\left(4 t - 16\right)=0.$$ $$t^{3} - 8 t^{2} + 20 t - 16=\left(t - 4\right)\left(t^{2} - 4 t + 4\right).$$ Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-4,\qquad C=4.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-4\right)^2=16,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(4\right)=16.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=16-\left(16\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=4$, $2A=2$: $$t_1=\frac{4+0}{2}=\frac{4}{2}=2,$$ $$t_2=\frac{4-0}{2}=\frac{4}{2}=2.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{2\right\}.$$ Итак, числитель имеет вид: $$(t-4)(t-2)^2.$$ Квадрат равен нулю только при $t=2$, то есть $x=1$. Но эта точка уже запрещена знаменателем. На всей ОДЗ квадрат строго положителен, поэтому дробь имеет знак выражения: $$\frac{2^x-4}{x-1}\ge0.$$ Основание 2 больше 1. Поэтому числитель отрицателен при $x<2$, равен нулю при $x=2$ и положителен при $x>2$, так как $4=2^2$. Знаменатель отрицателен при $x<1$ и положителен при $x>1$. Проверяем каждый промежуток: $$x<1:\quad(-)/(-)=+;$$ $$1<x<2:\quad(-)/(+)=-;$$ $$x>2:\quad(+)/(+)=+.$$ При $x=2$ дробь равна нулю и определена, поэтому точку включаем. При $x=1$ исходная дробь не определена независимо от числителя. Ответ: $$x\in(-\infty;1)\cup[2;+\infty).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Знаменатель $t+21>0$, а $t-27\ne0$, поэтому запрещено $t=27$. Складываем дроби: $$\frac1{t+21}+\frac1{t-27}=\frac{(t-27)+(t+21)}{(t+21)(t-27)}=\frac{2t-6}{(t+21)(t-27)}.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{1}{t + 21} + \frac{1}{t - 27}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=2 t - 6,\qquad D=t^{2} - 6 t - 567.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-6,\qquad C=-567.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-6\right)^2=36,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-567\right)=-2268.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=36-\left(-2268\right)=2304.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{2304}=48.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=6$, $2A=2$: $$t_1=\frac{6+48}{2}=\frac{54}{2}=27,$$ $$t_2=\frac{6-48}{2}=\frac{-42}{2}=-21.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-21,27\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{2 \left(t - 3\right)}{\left(t - 27\right) \left(t + 21\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-21:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$-21<t<3:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$3<t<27:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$27<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 3\right] \cup \left(27, \infty\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=3\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=27\ \Longrightarrow\ x=3.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 1\right] \cup \left(3, \infty\right).$$

Знаменатель можно представить квадратом. Введём временно $u=4^{x^2}>0$. Тогда: $$16^{x^2}-4\cdot4^{x^2}+4=u^2-4u+4=(u-2)^2.$$ Квадрат равен нулю только при: $$4^{x^2}=2\ \Longleftrightarrow 2^{2x^2}=2^1\ \Longleftrightarrow 2x^2=1\ \Longleftrightarrow x=\pm\frac1{\sqrt2}.$$ Эти значения запрещены. На всей оставшейся области знаменатель строго положителен, поэтому достаточно решить неравенство для числителя и затем убрать запрещённые точки: Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$8 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 1\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=8 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 1,\qquad D=1.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $- \frac{1}{2}$: $$P(- \frac{1}{2})=8\cdot\left(- \frac{1}{2}\right)^{3}+-4\cdot\left(- \frac{1}{2}\right)^{2}+-2\cdot\left(- \frac{1}{2}\right)^{1}+1\cdot\left(- \frac{1}{2}\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $x + \frac{1}{2}$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{8 x^{3}}{x}=8 x^{2},$$ $$8 x^{2}\left(x + \frac{1}{2}\right)=8 x^{3} + 4 x^{2},$$ $$\left(8 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 1\right)-\left(8 x^{3} + 4 x^{2}\right)=- 8 x^{2} - 2 x + 1.$$ $$\frac{- 8 x^{2}}{x}=- 8 x,$$ $$- 8 x\left(x + \frac{1}{2}\right)=- 8 x^{2} - 4 x,$$ $$\left(- 8 x^{2} - 2 x + 1\right)-\left(- 8 x^{2} - 4 x\right)=2 x + 1.$$ $$\frac{2 x}{x}=2,$$ $$2\left(x + \frac{1}{2}\right)=2 x + 1,$$ $$\left(2 x + 1\right)-\left(2 x + 1\right)=0.$$ $$8 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 1=\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(8 x^{2} - 8 x + 2\right).$$ Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(-8)^2-4\cdot(8)\cdot(2)=0.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{0}}{2\cdot(8)}.$$ $$x\in\left\{\frac{1}{2}\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(2 x - 1\right)^{2} \left(2 x + 1\right)}{1}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<x<- \frac{1}{2}:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$- \frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$\frac{1}{2}<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$x\in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{1}{2}\right] \cup \left\{\frac{1}{2}\right\}.$$ Ответ: $$x\in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{1}{2}\right] \cup \left\{\frac{1}{2}\right\}.$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=8^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. По свойствам степеней: $$2\cdot8^{x-1}=\frac{2\cdot8^x}8=\frac t4,\qquad64^x=(8^x)^2=t^2.$$ Поэтому первая дробь преобразуется: $$\frac{t/4}{t/4-1}=\frac{t/4}{(t-4)/4}=\frac t{t-4}.$$ Последний знаменатель раскладываем через группировку: $$t^2-5t+4=t^2-t-4t+4=t(t-1)-4(t-1)=(t-1)(t-4).$$ Запрещены $t=1,4$. Переносим все дроби влево: $$\frac t{t-4}-\frac3{t-1}-\frac8{(t-1)(t-4)}\ge0.$$ Общий числитель: $$N=t(t-1)-3(t-4)-8=t^2-t-3t+12-8=t^2-4t+4.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{t}{t - 4} - \frac{3}{t - 1} - \frac{8}{\left(t - 4\right) \left(t - 1\right)}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} - 4 t + 4,\qquad D=t^{2} - 5 t + 4.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-4,\qquad C=4.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-4\right)^2=16,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(4\right)=16.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=16-\left(16\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=4$, $2A=2$: $$t_1=\frac{4+0}{2}=\frac{4}{2}=2,$$ $$t_2=\frac{4-0}{2}=\frac{4}{2}=2.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{2\right\}.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-5,\qquad C=4.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-5\right)^2=25,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(4\right)=16.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=25-\left(16\right)=9.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{9}=3.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=5$, $2A=2$: $$t_1=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4,$$ $$t_2=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{1,4\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 2\right)^{2}}{\left(t - 4\right) \left(t - 1\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<1:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$1<t<2:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$2<t<4:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$4<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 1\right) \cup \left\{2\right\} \cup \left(4, \infty\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=8^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{8}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=1\ \Longrightarrow\ x=0.$$ $$t=2\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{3}.$$ $$t=4\ \Longrightarrow\ x=\frac{2}{3}.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 0\right) \cup \left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left(\frac{2}{3}, \infty\right).$$

Нужно определить неотрицательность дроби. Разложим числитель, используя $10^x=2^x5^x$: $$2^x5^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50$$ $$=2^x(5^x-25)-2(5^x-25)=(2^x-2)(5^x-25).$$ Знаменатель: $$5x-x^2-4=-(x^2-5x+4).$$ Группируем квадратный трёхчлен: $$x^2-5x+4=x^2-x-4x+4=x(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x-4).$$ Поэтому знаменатель $-(x-1)(x-4)$, и ОДЗ: $x\ne1,4$. Найдём нули числителя: $$2^x=2=2^1\ \Longrightarrow x=1;\qquad5^x=25=5^2\ \Longrightarrow x=2.$$ Обе степенные функции возрастают. При $x<1$ оба множителя отрицательны: числитель положителен. При $1<x<2$ первый положителен, второй отрицателен: числитель отрицателен. При $x>2$ оба положительны. Знаменатель отрицателен при $x<1$, положителен при $1<x<4$ и отрицателен при $x>4$. Значит: $$x<1:\ (+)/(-)=-;$$ $$1<x<2:\ (-)/(+)=-;$$ $$2<x<4:\ (+)/(+)=+;$$ $$x>4:\ (+)/(-)=-.$$ Точка $x=2$ даёт нулевой числитель и ненулевой знаменатель, поэтому включается. Точка1 остаётся запрещённой, хотя числитель там тоже нулевой. Точка4 запрещена знаменателем. Ответ: $$x\in[2;4).$$

Нужно определить знак дроби и сохранить запрет нулевого знаменателя. В числителе повторяются степени тройки. Введём $t=3^x>0$. По свойствам степеней: $$27^x=(3^x)^3=t^3,\quad9^x=(3^x)^2=t^2.$$ После подстановки числитель равен: $$1t^3-9t^2+27t-27.$$ Вынесем постоянный множитель и выведем куб разности. Сначала квадрат, затем умножение: $$(t-3)^2=t^2-6t+9,$$ $$(t^2-6t+9)(t-3)=t^3-9t^2+27t-27.$$ Значит, числитель равен $1(t-3)^3$. Знаменатель выделим в квадрат: $$50x^2-110x+\frac{121}{2}=50(x^2-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100})$$ $$=50(x-\frac{11}{10})^2.$$ Он строго положителен при $x\ne\frac{11}{10}$ и равен нулю в запрещённой точке. Поэтому знак дроби совпадает со знаком куба $t-3$. Куб сохраняет знак своего основания. Для неотрицательной дроби нужно: $$(t-3)^3\ge0\ \Longleftrightarrow t\ge3.$$ Возвращаемся к степени: $$3^x\ge3=3^{1}\ \Longleftrightarrow\ x\ge1.$$ Из этого промежутка исключаем исходный нулевой знаменатель. В точке $x=1$ числитель нулевой, знаменатель положителен, поэтому её включаем. Ответ: $$x\in[1;\frac{11}{10})\cup(\frac{11}{10};+\infty).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=8^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Переписываем степени: $$8^{x+1}=8\cdot8^x=8t,\qquad64^x=(8^x)^2=t^2.$$ Знаменатель: $$2t^2-32=2(t^2-16)=2(t-4)(t+4).$$ Так как $t>0$, запрещено только $t=4$. Вычитаем 1 из обеих частей и составляем общий числитель: $$\frac{8t-40}{2t^2-32}-1\le0,$$ $$N=8t-40-(2t^2-32)=8t-40-2t^2+32=-2t^2+8t-8.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{8 t - 40}{2 t^{2} - 32} - 1\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=- t^{2} + 4 t - 4,\qquad D=t^{2} - 16.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=-1,\qquad B=4,\qquad C=-4.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(4\right)^2=16,$$ $$4AC=4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)=16.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=16-\left(16\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=-4$, $2A=-2$: $$t_1=\frac{-4+0}{-2}=\frac{-4}{-2}=2,$$ $$t_2=\frac{-4-0}{-2}=\frac{-4}{-2}=2.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{2\right\}.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-16.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(0\right)^2=0,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-16\right)=-64.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=0-\left(-64\right)=64.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{64}=8.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=0$, $2A=2$: $$t_1=\frac{0+8}{2}=\frac{8}{2}=4,$$ $$t_2=\frac{0-8}{2}=\frac{-8}{2}=-4.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{-4,4\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{- \left(t - 2\right)^{2}}{\left(t - 4\right) \left(t + 4\right)}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<-4:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$-4<t<2:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$2<t<4:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$4<t<\infty:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left\{2\right\} \cup \left(4, \infty\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=8^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{8}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=2\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{3}.$$ $$t=4\ \Longrightarrow\ x=\frac{2}{3}.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left(\frac{2}{3}, \infty\right).$$

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Знаменатель требует: $$t\ne84.$$ Чтобы сложить целую часть и дробь, представляем $t$ как дробь с тем же знаменателем: $$t+\frac{243}{t-84}=\frac{t(t-84)+243}{t-84}=\frac{t^2-84t+243}{t-84}.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$t + \frac{243}{t - 84}\le0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=t^{2} - 84 t + 243,\qquad D=t - 84.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-84,\qquad C=243.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-84\right)^2=7056,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(243\right)=972.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=7056-\left(972\right)=6084.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{6084}=78.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=84$, $2A=2$: $$t_1=\frac{84+78}{2}=\frac{162}{2}=81,$$ $$t_2=\frac{84-78}{2}=\frac{6}{2}=3.$$ Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{3,81\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(t - 81\right) \left(t - 3\right)}{t - 84}\le0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<t<3:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$3<t<81:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$ $$81<t<84:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$84<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$t\in \left(0, 3\right] \cup \left[81, 84\right).$$ Возвращаемся к показателю $x$: $$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$ Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца: $$t=3\ \Longrightarrow\ x=1.$$ $$t=81\ \Longrightarrow\ x=4.$$ $$t=84\ \Longrightarrow\ x=1 + \frac{\log{\left(28 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}.$$ Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве. Ответ: $$x\in \left(-\infty, 1\right] \cup \left[4, 1 + \frac{\log{\left(28 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right).$$