Решите неравенство $\frac{3\cdot {27}^{x}-{9}^{x + 1}+{3}^{x + 2}-3}{50{x}^{2}-30x+4,5}\ge 0.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in[0;\frac3{10})\cup(\frac3{10};+\infty)$.
Решение
Нужно определить знак дроби и сохранить запрет нулевого знаменателя. В числителе повторяются степени тройки. Введём $t=3^x>0$. По свойствам степеней:
$$27^x=(3^x)^3=t^3,\quad9^x=(3^x)^2=t^2.$$
После подстановки числитель равен:
$$3t^3-9t^2+9t-3.$$
Вынесем постоянный множитель и выведем куб разности. Сначала квадрат, затем умножение:
$$(t-1)^2=t^2-2t+1,$$
$$(t^2-2t+1)(t-1)=t^3-3t^2+3t-1.$$
Значит, числитель равен $3(t-1)^3$. Знаменатель выделим в квадрат:
$$50x^2-30x+\frac{9}{2}=50(x^2-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100})$$
$$=50(x-\frac{3}{10})^2.$$
Он строго положителен при $x\ne\frac{3}{10}$ и равен нулю в запрещённой точке. Поэтому знак дроби совпадает со знаком куба $t-1$. Куб сохраняет знак своего основания. Для неотрицательной дроби нужно:
$$(t-1)^3\ge0\ \Longleftrightarrow t\ge1.$$
Возвращаемся к степени:
$$3^x\ge1=3^{0}\ \Longleftrightarrow\ x\ge0.$$
Из этого промежутка исключаем исходный нулевой знаменатель. В точке $x=0$ числитель нулевой, знаменатель положителен, поэтому её включаем. Ответ:
$$x\in[0;\frac{3}{10})\cup(\frac{3}{10};+\infty).$$