Решите неравенство
$\frac{{15}^{x}-{3}^{x+1}-{5}^{x+1}+15}{-{x}^{2}+2x}\ge 0$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(0;\log_5 3]\cup[\log_3 5;2)$.
Решение
Нужно, чтобы дробь была неотрицательна. Сначала ОДЗ знаменателя:
$$-x^2+2x=x(2-x)\ne0\ \Longrightarrow x\ne0,2.$$
В числителе $15^x=3^x5^x$, а $3^{x+1}=3\cdot3^x$, $5^{x+1}=5\cdot5^x$. Группируем:
$$3^x5^x-3\cdot3^x-5\cdot5^x+15$$
$$=3^x(5^x-3)-5(5^x-3)=(3^x-5)(5^x-3).$$
Каждый степенной множитель строго возрастает. Его нуль:
$$3^x-5=0\ \Longleftrightarrow x=\log_35=\beta,$$
$$5^x-3=0\ \Longleftrightarrow x=\log_53=\alpha.$$
Установим порядок точек без десятичных приближений. Поскольку $5^0=1<3<5=5^1$, имеем $0<\alpha<1$. Поскольку $3^1=3<5<9=3^2$, имеем $1<\beta<2$. Итак:
$$0<\alpha<1<\beta<2.$$
При $x<\alpha$ оба степенных множителя отрицательны, их произведение положительно. При $\alpha<x<\beta$ первый отрицателен, второй положителен: произведение отрицательно. При $x>\beta$ оба положительны. Знаменатель $x(2-x)$ положителен на $(0;2)$ и отрицателен вне этого промежутка. Выпишем знак всей дроби:
$$x<0:\ (+)/(-)=-;$$
$$0<x<\alpha:\ (+)/(+)=+;$$
$$\alpha<x<\beta:\ (-)/(+)=-;$$
$$\beta<x<2:\ (+)/(+)=+;$$
$$x>2:\ (+)/(-)=-.$$
Нужен плюс или ноль. Нули $\alpha,\beta$ допустимы, потому что строго между0 и2; точки0 и2 запрещены знаменателем. Ответ:
$$x\in(0;\log_53]\cup[\log_35;2).$$