ФИПИ A18442 — Показательные неравенства

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=2^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Знаменатель $x-1$ требует $x\ne1$. Переписываем числитель через $t$; множители перед степенями учитываем отдельно: $$t^{3} - 8 t^{2} + 20 t - 16.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $4$: $$P(4)=1\cdot\left(4\right)^{3}+-8\cdot\left(4\right)^{2}+20\cdot\left(4\right)^{1}+-16\cdot\left(4\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $t - 4$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{t^{3}}{t}=t^{2},$$ $$t^{2}\left(t - 4\right)=t^{3} - 4 t^{2},$$ $$\left(t^{3} - 8 t^{2} + 20 t - 16\right)-\left(t^{3} - 4 t^{2}\right)=- 4 t^{2} + 20 t - 16.$$ $$\frac{- 4 t^{2}}{t}=- 4 t,$$ $$- 4 t\left(t - 4\right)=- 4 t^{2} + 16 t,$$ $$\left(- 4 t^{2} + 20 t - 16\right)-\left(- 4 t^{2} + 16 t\right)=4 t - 16.$$ $$\frac{4 t}{t}=4,$$ $$4\left(t - 4\right)=4 t - 16,$$ $$\left(4 t - 16\right)-\left(4 t - 16\right)=0.$$ $$t^{3} - 8 t^{2} + 20 t - 16=\left(t - 4\right)\left(t^{2} - 4 t + 4\right).$$ Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-4,\qquad C=4.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-4\right)^2=16,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(4\right)=16.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=16-\left(16\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=4$, $2A=2$: $$t_1=\frac{4+0}{2}=\frac{4}{2}=2,$$ $$t_2=\frac{4-0}{2}=\frac{4}{2}=2.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{2\right\}.$$ Итак, числитель имеет вид: $$(t-4)(t-2)^2.$$ Квадрат равен нулю только при $t=2$, то есть $x=1$. Но эта точка уже запрещена знаменателем. На всей ОДЗ квадрат строго положителен, поэтому дробь имеет знак выражения: $$\frac{2^x-4}{x-1}\ge0.$$ Основание 2 больше 1. Поэтому числитель отрицателен при $x<2$, равен нулю при $x=2$ и положителен при $x>2$, так как $4=2^2$. Знаменатель отрицателен при $x<1$ и положителен при $x>1$. Проверяем каждый промежуток: $$x<1:\quad(-)/(-)=+;$$ $$1<x<2:\quad(-)/(+)=-;$$ $$x>2:\quad(+)/(+)=+.$$ При $x=2$ дробь равна нулю и определена, поэтому точку включаем. При $x=1$ исходная дробь не определена независимо от числителя. Ответ: $$x\in(-\infty;1)\cup[2;+\infty).$$