Решите неравенство
$\frac{{10}^{x}-25\cdot {2}^{x}-2\cdot {5}^{x}+50}{5x-{x}^{2}-4}\ge 0$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in[2;4)$.
Решение
Нужно определить неотрицательность дроби. Разложим числитель, используя $10^x=2^x5^x$:
$$2^x5^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50$$
$$=2^x(5^x-25)-2(5^x-25)=(2^x-2)(5^x-25).$$
Знаменатель:
$$5x-x^2-4=-(x^2-5x+4).$$
Группируем квадратный трёхчлен:
$$x^2-5x+4=x^2-x-4x+4=x(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x-4).$$
Поэтому знаменатель $-(x-1)(x-4)$, и ОДЗ: $x\ne1,4$. Найдём нули числителя:
$$2^x=2=2^1\ \Longrightarrow x=1;\qquad5^x=25=5^2\ \Longrightarrow x=2.$$
Обе степенные функции возрастают. При $x<1$ оба множителя отрицательны: числитель положителен. При $1<x<2$ первый положителен, второй отрицателен: числитель отрицателен. При $x>2$ оба положительны. Знаменатель отрицателен при $x<1$, положителен при $1<x<4$ и отрицателен при $x>4$. Значит:
$$x<1:\ (+)/(-)=-;$$
$$1<x<2:\ (-)/(+)=-;$$
$$2<x<4:\ (+)/(+)=+;$$
$$x>4:\ (+)/(-)=-.$$
Точка $x=2$ даёт нулевой числитель и ненулевой знаменатель, поэтому включается. Точка1 остаётся запрещённой, хотя числитель там тоже нулевой. Точка4 запрещена знаменателем. Ответ:
$$x\in[2;4).$$