Решите неравенство $\frac{13}{{3}^{x}-81}\le \frac{1}{{3}^{x}-9}$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: (-∞; 1] ∪ (2; 4)
Решение
Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной:
$$t=3^x>0.$$
Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели.
После замены знаменатели и ограничения:
$$t-81\ne0,\quad t-9\ne0.$$
Переносим правую дробь влево и приводим к общему знаменателю. Первую умножаем сверху и снизу на второй знаменатель, вторую — на первый:
$$\frac{13}{t-(81)}-\frac1{t-(9)}=\frac{13(t-(9))-(t-(81))}{(t-(81))(t-(9)))}.$$
В числителе раскрываем скобки:
$$13t-117-t+81=12t+-36.$$
Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби:
$$- \frac{1}{t - 9} + \frac{13}{t - 81}\le0.$$
Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель:
$$N=12 t - 36,\qquad D=t^{2} - 90 t + 729.$$
Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её.
Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты:
$$A=1,\qquad B=-90,\qquad C=729.$$
Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно:
$$B^2=\left(-90\right)^2=8100,$$
$$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(729\right)=2916.$$
Вычитаем найденные числа:
$$\Delta=8100-\left(2916\right)=5184.$$
$$\sqrt\Delta=\sqrt{5184}=72.$$
Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=90$, $2A=2$:
$$t_1=\frac{90+72}{2}=\frac{162}{2}=81,$$
$$t_2=\frac{90-72}{2}=\frac{18}{2}=9.$$
Итак, нули рассматриваемого трёхчлена:
$$t\in\left\{9,81\right\}.$$
Итак, для исследования знака получена дробь:
$$\frac{12 \left(t - 3\right)}{\left(t - 81\right) \left(t - 9\right)}\le0.$$
Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями.
$$-\infty<t<3:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$
$$3<t<9:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
$$9<t<81:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$
$$81<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем:
$$t\in \left(0, 3\right] \cup \left(9, 81\right).$$
Возвращаемся к показателю $x$:
$$t=3^x\ \Longleftrightarrow\ x=\log_{3}t.$$
Основание больше 1: логарифм возрастает и сохраняет порядок концов интервалов. Выпишем преобразование каждого конца:
$$t=3\ \Longrightarrow\ x=1.$$
$$t=9\ \Longrightarrow\ x=2.$$
$$t=81\ \Longrightarrow\ x=4.$$
Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве.
Ответ:
$$x\in \left(-\infty, 1\right] \cup \left(2, 4\right).$$