ФИПИ 4F4FA2 — Показательные неравенства

Нужно найти все решения неравенства. Повторяющиеся степени сведём к одной переменной: $$t=3^x>0.$$ Основание больше 1, поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. До действий с дробями сохраним все запреты на нулевые знаменатели. Знаменатель $x-1$ требует $x\ne1$. Переписываем числитель через $t$; множители перед степенями учитываем отдельно: $$t^{3} - 15 t^{2} + 63 t - 81.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $9$: $$P(9)=1\cdot\left(9\right)^{3}+-15\cdot\left(9\right)^{2}+63\cdot\left(9\right)^{1}+-81\cdot\left(9\right)^{0}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $t - 9$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{t^{3}}{t}=t^{2},$$ $$t^{2}\left(t - 9\right)=t^{3} - 9 t^{2},$$ $$\left(t^{3} - 15 t^{2} + 63 t - 81\right)-\left(t^{3} - 9 t^{2}\right)=- 6 t^{2} + 63 t - 81.$$ $$\frac{- 6 t^{2}}{t}=- 6 t,$$ $$- 6 t\left(t - 9\right)=- 6 t^{2} + 54 t,$$ $$\left(- 6 t^{2} + 63 t - 81\right)-\left(- 6 t^{2} + 54 t\right)=9 t - 81.$$ $$\frac{9 t}{t}=9,$$ $$9\left(t - 9\right)=9 t - 81,$$ $$\left(9 t - 81\right)-\left(9 t - 81\right)=0.$$ $$t^{3} - 15 t^{2} + 63 t - 81=\left(t - 9\right)\left(t^{2} - 6 t + 9\right).$$ Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты: $$A=1,\qquad B=-6,\qquad C=9.$$ Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно: $$B^2=\left(-6\right)^2=36,$$ $$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(9\right)=36.$$ Вычитаем найденные числа: $$\Delta=36-\left(36\right)=0.$$ $$\sqrt\Delta=\sqrt{0}=0.$$ Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=6$, $2A=2$: $$t_1=\frac{6+0}{2}=\frac{6}{2}=3,$$ $$t_2=\frac{6-0}{2}=\frac{6}{2}=3.$$ Дискриминант равен нулю, поэтому оба знака дали одно и то же число. Это один корень с кратностью два. Итак, нули рассматриваемого трёхчлена: $$t\in\left\{3\right\}.$$ Итак, числитель имеет вид: $$(t-9)(t-3)^2.$$ Квадрат равен нулю только при $t=3$, то есть $x=1$. Но эта точка уже запрещена знаменателем. На всей ОДЗ квадрат строго положителен, поэтому дробь имеет знак выражения: $$\frac{3^x-9}{x-1}\le0.$$ Основание 3 больше 1. Поэтому числитель отрицателен при $x<2$, равен нулю при $x=2$ и положителен при $x>2$, так как $9=3^2$. Знаменатель отрицателен при $x<1$ и положителен при $x>1$. Проверяем каждый промежуток: $$x<1:\quad(-)/(-)=+;$$ $$1<x<2:\quad(-)/(+)=-;$$ $$x>2:\quad(+)/(+)=+.$$ При $x=2$ дробь равна нулю и определена, поэтому точку включаем. При $x=1$ исходная дробь не определена независимо от числителя. Ответ: $$x\in(1;2].$$