Решите неравенство $\frac{{27}^{x}-{9}^{x + 1}+{3}^{x + 3}-27}{50{x}^{2}-110x+60,5}\ge 0.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in[1;\frac{11}{10})\cup(\frac{11}{10};+\infty)$.
Решение
Нужно определить знак дроби и сохранить запрет нулевого знаменателя. В числителе повторяются степени тройки. Введём $t=3^x>0$. По свойствам степеней:
$$27^x=(3^x)^3=t^3,\quad9^x=(3^x)^2=t^2.$$
После подстановки числитель равен:
$$1t^3-9t^2+27t-27.$$
Вынесем постоянный множитель и выведем куб разности. Сначала квадрат, затем умножение:
$$(t-3)^2=t^2-6t+9,$$
$$(t^2-6t+9)(t-3)=t^3-9t^2+27t-27.$$
Значит, числитель равен $1(t-3)^3$. Знаменатель выделим в квадрат:
$$50x^2-110x+\frac{121}{2}=50(x^2-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100})$$
$$=50(x-\frac{11}{10})^2.$$
Он строго положителен при $x\ne\frac{11}{10}$ и равен нулю в запрещённой точке. Поэтому знак дроби совпадает со знаком куба $t-3$. Куб сохраняет знак своего основания. Для неотрицательной дроби нужно:
$$(t-3)^3\ge0\ \Longleftrightarrow t\ge3.$$
Возвращаемся к степени:
$$3^x\ge3=3^{1}\ \Longleftrightarrow\ x\ge1.$$
Из этого промежутка исключаем исходный нулевой знаменатель. В точке $x=1$ числитель нулевой, знаменатель положителен, поэтому её включаем. Ответ:
$$x\in[1;\frac{11}{10})\cup(\frac{11}{10};+\infty).$$