Решите неравенство $({\log }_{0,25}^{2}(x+3)-{\log }_{4}({x}^{2}+6x+9)+1)\cdot {\log }_{4}(x+2)\le 0.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: (-2; -1] ∪ {1}
Решение
Нужно решить произведение с квадратом логарифма. Сначала ОДЗ: из $x+3>0$ и $x+2>0$ получаем $x>-2$. Аргумент $x^2+6x+9=(x+3)^2$ при этом тоже положителен. Введём:
$$t=\log_4(x+3).$$
Основание $0{,}25=1/4=4^{-1}$ позволяет сменить основание:
$$\log_{0{,}25}(x+3)=\frac{\log_4(x+3)}{\log_44^{-1}}=\frac t{-1}=-t.$$
Значит, квадрат первого логарифма равен $(-t)^2=t^2$. Второй логарифм:
$$\log_4((x+3)^2)=2\log_4(x+3)=2t.$$
Поэтому выражение в скобках:
$$t^2-2t+1=(t-1)^2.$$
Неравенство стало:
$$(t-1)^2\log_4(x+2)\le0.$$
Первый множитель всегда неотрицателен. Поэтому если второй неположителен, всё произведение неположительно; если второй положителен, равенство возможно только при нулевом квадрате.
Так как основание 4 больше 1, неположительный логарифм соответствует аргументу между 0 и 1:
$$\log_4(x+2)\le0\ \Longleftrightarrow 0<x+2\le1\ \Longleftrightarrow -2<x\le-1.$$
Все эти $x$ подходят. При $x>-1$ второй множитель положителен, поэтому:
$$(t-1)^2=0\ \Longleftrightarrow t=1\ \Longleftrightarrow x+3=4^1=4\ \Longleftrightarrow x=1.$$
Точка1 допустима, поскольку больше $-2$. Граница $-2$ запрещена нулевым аргументом $x+2$, а $-1$ разрешена: логарифм там нулевой. Ответ:
$$x\in(-2;-1]\cup\{1\}.$$