Решите неравенство ${\log }_{2}^{2}(25-{x}^{2})-7{\log }_{2}(25-{x}^{2})+12\ge 0$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: (-5; -√17] ∪ [-3; 3] ∪ [√17; 5)
Решение
Нужно решить неравенство с квадратом одного и того же логарифма. Сначала его аргумент должен быть строго положителен:
$$25 - x^{2}>0,\qquad x\in\left(-5, 5\right).$$
Введём новую переменную:
$$t=\log_{2}(25 - x^{2}).$$
Тогда неравенство становится квадратным:
$$t^2-7t+12\ge0.$$
Вычислим дискриминант и корни, чтобы получить границы знаков:
$$D=(-7)^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{7\pm1}2,\qquad t_1=3,\quad t_2=4.$$
Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ неотрицателен вне корней и равен нулю на корнях:
$$t\le3\quad\text{или}\quad t\ge4.$$
Возвращаемся к аргументу логарифма. Основание 2 больше 1, поэтому знак при сравнении аргументов сохраняется. Но положительность аргумента обязательно оставляем:
$$0<25 - x^{2}\le2^{3}=8,$$
$$25 - x^{2}\ge2^{4}=16.$$
Из положительности аргумента $x^2<25$. Из верхней границы первого случая:
$$25-x^2\le8\ \Longrightarrow\ -x^2\le-17\ \Longrightarrow\ x^2\ge17.$$
При умножении на $-1$ знак меняется. Второй случай:
$$25-x^2\ge16\ \Longrightarrow\ x^2\le9.$$
Для неотрицательных чисел сравнение квадратов равносильно сравнению модулей. Например, $x^2\ge q$ при $q>0$ означает $x\le-\sqrt q$ или $x\ge\sqrt q$. А $x^2\le q$ означает $-\sqrt q\le x\le\sqrt q$. Применяя это к обоим случаям и сохраняя строгие границы ОДЗ, получаем ответ:
$$x\in\left(-5, - \sqrt{17}\right] \cup \left[-3, 3\right] \cup \left[\sqrt{17}, 5\right).$$
Корни квадратного неравенства по $t$ включены, поскольку исходный знак нестрогий; нулевой аргумент логарифма запрещён независимо от этого.