Решите неравенство $2{\log }_{2}(x\sqrt{5})-{\log }_{2}(\frac{x}{1-x})\le {\log }_{2}(5{x}^{2}+\frac{1}{x}-2)$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(0;\frac1{\sqrt5}]\cup[\frac12;1)$.
Решение
Нужно решить логарифмическое неравенство. Первые два аргумента требуют:
$$x\sqrt5>0\ \Longrightarrow x>0,\qquad\frac{x}{1-x}>0.$$
При $x>0$ вторая дробь положительна только при $1-x>0$, то есть $x<1$. Пока получаем $0<x<1$. Проверим последний аргумент $5x^2+1/x-2$. Если $0<x\le1/2$, то $1/x\ge2$, поэтому он не меньше $5x^2>0$. Если $1/2\le x<1$, то $5x^2\ge5/4$, а $1/x>1$, поэтому аргумент больше $5/4+1-2=1/4>0$. Итак, ОДЗ ровно $(0;1)$.
Вынесение множителя перед логарифмом в степень и объединение разности дают:
$$2\log_2(x\sqrt5)=\log_2((x\sqrt5)^2)=\log_2(5x^2),$$
$$\log_2(5x^2)-\log_2\frac{x}{1-x}=\log_2\frac{5x^2(1-x)}x=\log_2(5x(1-x)).$$
Основание 2 больше 1: сравниваем аргументы и переносим меньшую левую часть вправо:
$$5x(1-x)\le5x^2+1/x-2,$$
$$5x^2+1/x-2-5x+5x^2=10x^2-5x-2+1/x\ge0.$$
Общий числитель при знаменателе $x$:
$$N=10x^3-5x^2-2x+1.$$
Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби:
$$10 x^{2} - 5 x - 2 + \frac{1}{x}\ge0.$$
Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель:
$$N=10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1,\qquad D=x.$$
Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её.
По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $\frac{1}{2}$:
$$P(\frac{1}{2})=10\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+-5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=0.$$
Раз корень найден, делим многочлен на $x - \frac{1}{2}$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем:
$$\frac{10 x^{3}}{x}=10 x^{2},$$
$$10 x^{2}\left(x - \frac{1}{2}\right)=10 x^{3} - 5 x^{2},$$
$$\left(10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1\right)-\left(10 x^{3} - 5 x^{2}\right)=1 - 2 x.$$
$$\frac{- 2 x}{x}=-2,$$
$$-2\left(x - \frac{1}{2}\right)=1 - 2 x,$$
$$\left(1 - 2 x\right)-\left(1 - 2 x\right)=0.$$
$$10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1=\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(10 x^{2} - 2\right).$$
Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант:
$$D=(0)^2-4\cdot(10)\cdot(-2)=80.$$
$$x_{1,2}=\frac{-(0)\pm\sqrt{80}}{2\cdot(10)}.$$
$$x\in\left\{- \frac{\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right\}.$$
Итак, для исследования знака получена дробь:
$$\frac{\left(2 x - 1\right) \left(5 x^{2} - 1\right)}{x}\ge0.$$
Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями.
$$-\infty<x<- \frac{\sqrt{5}}{5}:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$
$$- \frac{\sqrt{5}}{5}<x<0:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$
$$0<x<\frac{\sqrt{5}}{5}:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
$$\frac{\sqrt{5}}{5}<x<\frac{1}{2}:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$
$$\frac{1}{2}<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем:
$$x\in \left(0, \frac{\sqrt{5}}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right).$$
Ответ:
$$x\in \left(0, \frac{\sqrt{5}}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right).$$