Решите неравенство $\frac{4}{{\log }_{2}x}-{\log }_{2}(\frac{4}{x})\le \frac{38}{{\log }_{2}{x}^{2}}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(0;\frac18]\cup(1;32]$.
Решение
Нужно найти все допустимые $x$, при которых неравенство верно. Повторяющиеся логарифмы удобно заменить одной переменной. Для логарифма требуется $x>0$. Введём:
$$t=\log_{2}x,\qquad x=2^t.$$
Логарифмы аргументов:
$$\log_2(4/x)=\log_24-\log_2x=2-t,\qquad\log_2(x^2)=2t.$$
Знаменатели запрещают $t=0$, то есть $x=1$. Подставляем в неравенство:
$$\frac4t-(2-t)\le\frac{38}{2t}=\frac{19}t.$$
Вычитаем $19/t$ из обеих частей и раскрываем скобки:
$$\frac4t-2+t-\frac{19}t=t-2-\frac{15}t\le0.$$
Общий числитель:
$$N=t(t-2)-15=t^2-2t-15.$$
Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби:
$$t - 2 - \frac{15}{t}\le0.$$
Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель:
$$N=t^{2} - 2 t - 15,\qquad D=t.$$
Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её.
Сравним квадратный трёхчлен с общей формой $At^2+Bt+C$. Его коэффициенты:
$$A=1,\qquad B=-2,\qquad C=-15.$$
Для корней нужен дискриминант $\Delta=B^2-4AC$. Вычислим квадрат и произведение отдельно:
$$B^2=\left(-2\right)^2=4,$$
$$4AC=4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-15\right)=-60.$$
Вычитаем найденные числа:
$$\Delta=4-\left(-60\right)=64.$$
$$\sqrt\Delta=\sqrt{64}=8.$$
Подставим числа в формулу каждого корня $t=(-B\pm\sqrt\Delta)/(2A)$. Здесь $-B=2$, $2A=2$:
$$t_1=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5,$$
$$t_2=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3.$$
Итак, нули рассматриваемого трёхчлена:
$$t\in\left\{-3,5\right\}.$$
Итак, для исследования знака получена дробь:
$$\frac{\left(t - 5\right) \left(t + 3\right)}{t}\le0.$$
Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями.
$$-\infty<t<-3:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$
$$-3<t<0:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$
$$0<t<5:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$
$$5<t<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем:
$$t\in \left(-\infty, -3\right] \cup \left(0, 5\right].$$
Возвращаемся к $x$. По определению логарифма:
$$t=\log_{2}(x)\ \Longleftrightarrow\ x=2^t.$$
Основание больше 1, поэтому функция $2^t$ возрастает: порядок концов каждого интервала сохраняется. Выпишем преобразование каждого конца:
$$t=-3\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{8}.$$
$$t=0\ \Longrightarrow\ x=1.$$
$$t=5\ \Longrightarrow\ x=32.$$
Открытые и закрытые концы сохраняем: равенство допустимо только там, где оно было разрешено в исходном неравенстве.
Ответ:
$$x\in \left(0, \frac{1}{8}\right] \cup \left(1, 32\right].$$