Решите неравенство $\frac{{\log }_{2}{x}^{2}-{\log }_{3}{x}^{2}}{{\log }_{6}^{2}(2{x}^{2}-10x+12,5)+1}\ge 0.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(-\infty;-1]\cup[1;\frac52)\cup(\frac52;+\infty)$.
Решение
Сначала найдём ОДЗ. Логарифмы числителя требуют $x^2>0$, то есть $x\ne0$. Аргумент логарифма в знаменателе:
$$2x^2-10x+12{,}5=2(x^2-5x+25/4)=2(x-5/2)^2.$$
Он положителен при $x\ne5/2$. На этой области знаменатель — квадрат действительного числа плюс1, поэтому:
$$(\log_6(2(x-5/2)^2))^2+1\ge1>0.$$
Знак дроби полностью определяется числителем. Перейдём к натуральным логарифмам:
$$\log_2(x^2)-\log_3(x^2)=\frac{\ln(x^2)}{\ln2}-\frac{\ln(x^2)}{\ln3}$$
$$=\ln(x^2)\left(\frac1{\ln2}-\frac1{\ln3}\right).$$
Знак постоянного множителя покажем через общий знаменатель:
$$\frac1{\ln2}-\frac1{\ln3}=\frac{\ln3-\ln2}{\ln2\ln3}>0.$$
Здесь $\ln3>\ln2>0$, поскольку натуральный логарифм возрастает. Поэтому неотрицательная дробь равносильна:
$$\ln(x^2)\ge0\ \Longleftrightarrow x^2\ge1\ \Longleftrightarrow x\le-1\ \text{или}\ x\ge1.$$
Остаётся исходный запрет $x=5/2$. Ноль в найденное множество уже не входит. В точках $x=\pm1$ числитель равен0, знаменатель положителен, поэтому их включаем. Ответ:
$$x\in(-\infty;-1]\cup[1;5/2)\cup(5/2;+\infty).$$