Решите неравенство $\frac{{\log }_{2}(8x)\cdot {\log }_{3}(27x)}{{x}^{2}-|x|}\le 0$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(0;\frac1{27}]\cup[\frac18;1)$.
Решение
Логарифмы требуют положительности аргументов: оба постоянных коэффициента положительны, поэтому $x>0$. Тогда $|x|=x$, а знаменатель:
$$1x^2-|x|=1x^2-x=x(1x-1).$$
Он не должен равняться нулю: при уже учтённом $x>0$ дополнительно запрещено $x=1/1$.
Для основания больше 1 логарифм отрицателен при аргументе между 0 и 1, нулевой при аргументе 1, положителен при аргументе больше 1. Поэтому его знак совпадает со знаком «аргумент минус 1». В нашем случае:
$$\log_{2}(8x)=0\ \Longleftrightarrow\ 8x=1\ \Longleftrightarrow\ x=\frac1{8},$$
$$\log_{3}(27x)=0\ \Longleftrightarrow\ 27x=1\ \Longleftrightarrow\ x=\frac1{27}.$$
Для исследования знака можно заменить каждый логарифм линейным выражением с тем же знаком. Численно выражения разные, но условие неположительности дроби не меняется:
$$\frac{(8x-1)(27x-1)}{x(1x-1)}\le0.$$
Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби:
$$\frac{\left(8 x - 1\right) \left(27 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\le0.$$
Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель:
$$N=216 x^{2} - 35 x + 1,\qquad D=x^{2} - x.$$
Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её.
Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант:
$$D=(-35)^2-4\cdot(216)\cdot(1)=361.$$
$$x_{1,2}=\frac{-(-35)\pm\sqrt{361}}{2\cdot(216)}.$$
$$x\in\left\{\frac{1}{27},\frac{1}{8}\right\}.$$
Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её.
Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант:
$$D=(-1)^2-4\cdot(1)\cdot(0)=1.$$
$$x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{1}}{2\cdot(1)}.$$
$$x\in\left\{0,1\right\}.$$
Итак, для исследования знака получена дробь:
$$\frac{\left(8 x - 1\right) \left(27 x - 1\right)}{x \left(x - 1\right)}\le0.$$
Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями.
$$-\infty<x<0:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
$$0<x<\frac{1}{27}:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$
$$\frac{1}{27}<x<\frac{1}{8}:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$
$$\frac{1}{8}<x<1:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$
$$1<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем:
$$x\in \left(0, \frac{1}{27}\right] \cup \left[\frac{1}{8}, 1\right).$$
Ответ:
$$x\in \left(0, \frac{1}{27}\right] \cup \left[\frac{1}{8}, 1\right).$$