Решите неравенство ${\log }_{8}({x}^{3}-3{x}^{2}+3x-1)\ge {\log }_{2}({x}^{2}-1)-5.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(1;31]$.
Решение
Для решения сначала раскроем куб разности:
$$(x-1)^3=(x^2-2x+1)(x-1)=x^3-3x^2+3x-1.$$
Первый аргумент положителен только при $x>1$. На этой области второй аргумент $x^2-1=(x-1)(x+1)$ тоже положителен. Поэтому ОДЗ: $x>1$.
По формуле смены основания и правилу логарифма степени:
$$\log_8((x-1)^3)=\frac{\log_2((x-1)^3)}{\log_28}=\frac{3\log_2(x-1)}3=\log_2(x-1).$$
Это разложение допустимо, поскольку на ОДЗ $x-1>0$. Число 5 представим как $\log_232$, затем объединим разность справа:
$$\log_2(x^2-1)-5=\log_2(x^2-1)-\log_232=\log_2\frac{x^2-1}{32}.$$
Основание 2 больше 1, поэтому:
$$x-1\ge\frac{x^2-1}{32}.$$
Умножаем обе части на положительное 32 и раскладываем разность квадратов:
$$32(x-1)\ge(x-1)(x+1).$$
На ОДЗ $x-1>0$, делим на него без смены знака:
$$32\ge x+1\ \Longrightarrow\ x\le31.$$
Пересечение с $x>1$ даёт ответ:
$$x\in(1;31].$$
При $x=31$ обе стороны после преобразования равны, и исходные аргументы положительны. При $x=1$ логарифмы не определены.