Решите неравенство $\frac{{\log }_{2}(2-x)-{\log }_{2}(x+1)}{{\log }_{2}^{2}{x}^{2}+{\log }_{2}{x}^{4}+1}\ge 0.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(-1;-\frac1{\sqrt2})\cup(-\frac1{\sqrt2};0)\cup(0;\frac12]$.
Решение
Нужно определить знак дроби и исключить все точки, где она не существует. Числитель требует:
$$2-x>0,\qquad x+1>0\ \Longrightarrow -1<x<2.$$
Логарифмы знаменателя требуют дополнительно $x\ne0$. Временно введём $t=\log_2(x^2)$. Поскольку $x^4=(x^2)^2$ и $x^2>0$, получаем:
$$\log_2(x^4)=2\log_2(x^2)=2t.$$
Поэтому знаменатель:
$$t^2+2t+1=(t+1)^2.$$
Нулевой знаменатель запрещён. Решаем:
$$t=-1\ \Longleftrightarrow x^2=2^{-1}=1/2\ \Longleftrightarrow x=\pm1/\sqrt2.$$
На всей оставшейся ОДЗ знаменатель положителен, значит, достаточно неотрицательного числителя. Объединяем разность логарифмов:
$$\log_2(2-x)-\log_2(x+1)=\log_2\frac{2-x}{x+1}\ge0.$$
Основание2 больше1, поэтому аргумент должен быть не меньше1:
$$\frac{2-x}{x+1}\ge1.$$
На ОДЗ $x+1>0$, умножаем без смены знака:
$$2-x\ge x+1\ \Longleftrightarrow 1\ge2x\ \Longleftrightarrow x\le1/2.$$
Совмещаем с $-1<x<2$ и убираем $0,\pm1/\sqrt2$. Положительное $1/\sqrt2>1/2$, поэтому оно уже вне найденного множества. Отрицательная точка лежит между $-1$ и0 и должна быть выколота. Ответ:
$$x\in(-1;-1/\sqrt2)\cup(-1/\sqrt2;0)\cup(0;1/2].$$