Решите неравенство $7 {\log }_{12}({x}^{2}-13x+42)\le 8+{\log }_{12}\frac{{(x-7)}^{7}}{x-6}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in[-6;6)\cup(7;18]$.
Решение
Нужно решить неравенство с двумя логарифмами. Разложим первый аргумент:
$$x^2-13x+42=x^2-6x-7x+42=x(x-6)-7(x-6)=(x-6)(x-7).$$
Он положителен при $x<6$ или $x>7$. Во втором аргументе числитель $(x-7)^7$ имеет знак $x-7$, а знаменатель знак $x-6$. Их отношение положительно на тех же промежутках. Точки 6 и 7 запрещены. ОДЗ:
$$x\in(-\infty;6)\cup(7;+\infty).$$
Переносим правый логарифм влево, а множитель 7 перед первым вносим в степень. Аргументы на ОДЗ положительны:
$$\log_{12}(((x-6)(x-7))^7)-\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}\le8.$$
Разность объединяем в частное. Деление на дробь заменяем умножением на обратную:
$$\frac{(x-6)^7(x-7)^7}{(x-7)^7/(x-6)}=(x-6)^7(x-7)^7\cdot\frac{x-6}{(x-7)^7}=(x-6)^8.$$
Исходные запреты сохраняем. Получили:
$$\log_{12}(x-6)^8\le8.$$
Логарифм с основанием 12 возрастает, поэтому:
$$(x-6)^8\le12^8.$$
Чётная степень равна восьмой степени модуля. На неотрицательных числах возведение в восьмую степень сохраняет порядок:
$$|x-6|\le12\ \Longleftrightarrow -12\le x-6\le12\ \Longleftrightarrow -6\le x\le18.$$
Пересекаем с ОДЗ. Концы $-6$ и18 допустимы и дают равенство; 6 и7 остаются запрещёнными. Ответ:
$$x\in[-6;6)\cup(7;18].$$