ФИПИ 000E35 — Логарифмические неравенства с постоянным основанием

Нужно решить неравенство и не потерять область определения. Каждый аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$\frac1x+2=\frac{2x+1}x>0,\qquad x+5>0,\qquad\frac{x+4}{x^2}>0.$$ Первая дробь положительна при одинаковых знаках числителя и знаменателя: $x<-1/2$ или $x>0$. Второе условие: $x>-5$. В третьей дроби $x^2>0$ при $x\ne0$, поэтому требуется $x>-4$, $x\ne0$. Пересечение: $$x\in(-4;-1/2)\cup(0;+\infty).$$ На найденной области все аргументы положительны. Используем свойства логарифмов: сумма — логарифм произведения, разность — логарифм частного. Основание 3 больше 1, поэтому логарифм возрастает: при сравнении аргументов знак сохраняется. После перехода к аргументам переносим все слагаемые влево. $$\log_3\frac{(2x+1)/x}{x+5}\ge\log_3\frac{x+4}{x^2}\ \Longleftrightarrow\frac{2x+1}{x(x+5)}-\frac{x+4}{x^2}\ge0.$$ Общий знаменатель $x^2(x+5)$; числитель: $$N=x(2x+1)-(x+4)(x+5)$$ $$N=2x^2+x-(x^2+9x+20)=x^2-8x-20.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{2 x + 1}{x \left(x + 5\right)} - \frac{x + 4}{x^{2}}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=x^{2} - 8 x - 20,\qquad D=x^{3} + 5 x^{2}.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(-8)^2-4\cdot(1)\cdot(-20)=144.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{144}}{2\cdot(1)}.$$ $$x\in\left\{-2,10\right\}.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $-5$: $$P(-5)=1\cdot\left(-5\right)^{3}+5\cdot\left(-5\right)^{2}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $x + 5$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{x^{3}}{x}=x^{2},$$ $$x^{2}\left(x + 5\right)=x^{3} + 5 x^{2},$$ $$\left(x^{3} + 5 x^{2}\right)-\left(x^{3} + 5 x^{2}\right)=0.$$ $$x^{3} + 5 x^{2}=\left(x + 5\right)\left(x^{2}\right).$$ Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(0)^2-4\cdot(1)\cdot(0)=0.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(0)\pm\sqrt{0}}{2\cdot(1)}.$$ $$x\in\left\{0\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(x - 10\right) \left(x + 2\right)}{x^{2} \left(x + 5\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<x<-5:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$-5<x<-2:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-2<x<0:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$0<x<10:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$10<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$x\in \left(-4, -2\right] \cup \left[10, \infty\right).$$ Ответ: $$x\in \left(-4, -2\right] \cup \left[10, \infty\right).$$