Решите неравенство ${\log }_{2}(4{x}^{2}-1)-{\log }_{2}x\le {\log }_{2}(5x+\frac{9}{x}-11)$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(\frac12;1]\cup[10;+\infty)$.
Решение
Сначала ОДЗ. Аргумент $x$ положителен, а $4x^2-1>0$. При $x>0$ последнее означает $x>1/2$. Третий аргумент:
$$5x+9/x-11=\frac{5x^2-11x+9}x.$$
На $x>1/2$ знаменатель положителен. У числителя дискриминант:
$$D=(-11)^2-4\cdot5\cdot9=121-180=-59<0.$$
Старший коэффициент 5 положителен, поэтому числитель положителен при всех $x$. Последний аргумент не добавляет ограничений. Итак, ОДЗ: $x>1/2$.
Разность логарифмов объединяем; основание 2 больше 1, поэтому сравниваем аргументы:
$$\log_2\frac{4x^2-1}x\le\log_2\frac{5x^2-11x+9}x,$$
$$\frac{4x^2-1}x\le\frac{5x^2-11x+9}x.$$
Переносим левую часть вправо, чтобы получить знак «не меньше нуля»:
$$\frac{5x^2-11x+9-(4x^2-1)}x=\frac{x^2-11x+10}x\ge0.$$
Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби:
$$\frac{x^{2} - 11 x + 10}{x}\ge0.$$
Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель:
$$N=x^{2} - 11 x + 10,\qquad D=x.$$
Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её.
Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант:
$$D=(-11)^2-4\cdot(1)\cdot(10)=81.$$
$$x_{1,2}=\frac{-(-11)\pm\sqrt{81}}{2\cdot(1)}.$$
$$x\in\left\{1,10\right\}.$$
Итак, для исследования знака получена дробь:
$$\frac{\left(x - 10\right) \left(x - 1\right)}{x}\ge0.$$
Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями.
$$-\infty<x<0:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$
$$0<x<1:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
$$1<x<10:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$
$$10<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем:
$$x\in \left(\frac{1}{2}, 1\right] \cup \left[10, \infty\right).$$
Ответ:
$$x\in \left(\frac{1}{2}, 1\right] \cup \left[10, \infty\right).$$