Решите неравенство ${\log }_{5}((3-x)({x}^{2}+2))\ge {\log }_{5}({x}^{2}-7x+12)+{\log }_{5}(5-x)$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in[2;3)$.
Решение
Первый аргумент — произведение положительного $x^2+2$ и линейного множителя. Поэтому его положительность требует:
$$(3-x)(x^2+2)>0\ \Longleftrightarrow\ x<3.$$
Остальные аргументы на этой области тоже положительны. Квадратный аргумент раскладываем группировкой:
$$x^2-7x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-4).$$
При $x<3$ оба множителя отрицательны: произведение положительно. Аргумент $5-x$ тоже положителен. Итак, ОДЗ: $x<3$.
На найденной области все аргументы положительны. Используем свойства логарифмов: сумма — логарифм произведения, разность — логарифм частного. Основание 5 больше 1, поэтому логарифм возрастает: при сравнении аргументов знак сохраняется. После перехода к аргументам переносим все слагаемые влево.
$$(3-x)(x^2+2)\ge(3-x)(4-x)(5-x).$$
На ОДЗ множитель $3-x$ строго положителен. Делим на него обе части без смены знака:
$$x^2+2\ge(4-x)(5-x).$$
Раскрываем произведение справа:
$$(4-x)(5-x)=20-4x-5x+x^2=x^2-9x+20.$$
Переносим правую часть влево; $x^2$ сокращаются:
$$x^2+2-(x^2-9x+20)=9x+-18\ge0.$$
Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби:
$$x^{2} - \left(4 - x\right) \left(5 - x\right) + 2\ge0.$$
Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель:
$$N=9 x - 18,\qquad D=1.$$
Итак, для исследования знака получена дробь:
$$\frac{9 \left(x - 2\right)}{1}\ge0.$$
Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями.
$$-\infty<x<2:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$
$$2<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем:
$$x\in \left[2, 3\right).$$
Ответ:
$$x\in \left[2, 3\right).$$